Prakikum "ülesannete lahendamine kombinatoorikas". Prakikum "ülesannete lahendamine kombinatoorikas" Mitu arvu saab teha 5 numbrist

Kombinatoorika on matemaatika haru, mis on pühendatud teatud hulga elementide valimise ja paigutamise probleemide lahendamisele vastavalt etteantud reeglitele. Kombinatoorika uurib objektide kombinatsioone ja permutatsioone, omadusi andnud elementide paigutust. Üldine küsimus kombinatoorsetes probleemides on: kui mitmel viisil....

Kombinatoorsete probleemide hulka kuuluvad ka maagiliste ruutude konstrueerimise, dekodeerimise ja kodeerimise probleemid.

Kombinatoorika kui matemaatikaharu sündi seostatakse 17. sajandi suurte prantsuse matemaatikute Blaise Pascali (1623–1662) ja Pierre de Fermat’ (1601–1665) hasartmänguteooria töödega. Need tööd sisaldasid põhimõtteid lõpliku hulga elementide kombinatsioonide arvu määramiseks. Alates 20. sajandi 50. aastatest on huvi kombinatoorika vastu elavnenud tänu küberneetika kiirele arengule.

Kombinatoorika põhireeglid on summa reegel ja reegel töötab.

• Summereegel

Kui saab valida mõne elemendi A n viise ja saab valida elemendi B m viisil, siis saab teha valiku "kas A või B". n+ m viise.

Näiteks kui taldrikul on 5 õuna ja 6 pirni, siis saab ühe puuvilja valida 5 + 6 = 11 viisil.

• toote reegel

Kui elemendi A saab valida n viise ja saab valida elemendi B m viisil, siis saab valida paari A ja B n m viise.

Näiteks kui on 2 erinevat ümbrikut ja 3 erinevat marki, siis on ümbriku ja margi valimiseks 6 võimalust (2 3 = 6).

Tootereegel kehtib ka mitme komplekti elementide arvestamisel.

Näiteks kui on 2 erinevat ümbrikut, 3 erinevat marki ja 4 erinevat postkaarti, siis on ümbriku, margi ja postkaardi valimiseks 24 võimalust (2 3 4 = 24).

Kõigi naturaalarvude korrutist 1-st n-ni (kaasa arvatud) nimetatakse n-faktoriaalseks ja seda tähistatakse sümboliga n!

n! = 1 2 3 4 … n.

Näiteks 5! = 1 2 3 4 5 = 120.

Näiteks kui palli on 3 - punane, sinine ja roheline, saate need järjestada kuuel viisil (3 2 1 \u003d 3! \u003d 6).

Mõnikord lahendatakse kombinatoorne ülesanne konstrueerimisega puu valikuid.

Näiteks lahendame eelmise 3-palli ülesande puu ehitamisega.

Kombinatoorika ülesannete lahendamise töötuba.

VÄLJAKUTSED ja LAHENDUSED

1. Vaasis on 6 õuna, 5 pirni ja 4 ploomi. Mitu valikut ühe puuvilja jaoks?

Vastus: 15 võimalust.

2. Mitu võimalust on ühe roosi ostmiseks, kui müüakse 3 helepunast, 2 helepunast ja 4 kollast roosi?

Vastus: 9 võimalust.

3. Viis teed viivad linnast A linna B ja kolm teed linnast B linna C. Mitu teed läbi B viib punktist A punkti C?

Vastus: 15 viisi.

4. Mitmel viisil saab sõna "rätik" tähtedest teha paari ühest vokaalist ja ühest kaashäälikust?

täishäälikud: a, o - 2 tk.
kaashäälikud: p, l, t, k - 4 tk.

Vastus: 8 viisi.

5. Mitu tantsupaari saab moodustada 8 poisist ja 6 tüdrukust?

Vastus: 48 paari.

6. Sööklas on 4 esimest ja 7 teist käiku. Mitu erinevat kahekäigulist lõunasööki saab tellida?

Vastus: 28 võimalust.

7. Mitu erinevat kahekohalist arvu saab arvude 1, 4 ja 7 abil teha, kui numbreid saab korrata?

1 number – 3 viisi
2-kohaline – 3 viisi
3. number – 3 võimalust

Vastus: 9 erinevat kahekohalist numbrit.

8. Mitu erinevat kolmekohalist arvu saab arvude 3 ja 5 abil teha, kui numbreid saab korrata?

1 number – 2 viisi
2 numbrit – 2 viisi
3. number – 2 võimalust

Vastus: 8 erinevat numbrit.

9. Mitu erinevat kahekohalist arvu saab arvudest 0, 1, 2, 3 teha, kui arve saab korrata?

1 number – 3 viisi
2-kohaline – 4 viisi

Vastus: 12 erinevat numbrit.

10. Mitu kolmekohalist arvu, mille kõik numbrid on paarisarvulised?

Paarisarvud on 0, 2, 4, 6, 8.

1 number – 4 viisi
2-kohaline – 5 viisi
3 numbrit – 5 viisi

Vastus: Seal on 100 numbrit.

11. Mitu paaris kolmekohalist arvu on?

1 number – 9 viisi (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2. number – 10 viisi (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
3. number – 5 viisi (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 5 = 450

Vastus: Seal on 450 numbrit.

12. Mitu erinevat kolmekohalist arvu saab teha kolmest erinevast arvust 4, 5, 6?

1 number – 3 viisi
2 numbrit – 2 viisi
3-kohaline – 1-suunaline

Vastus: 6 erinevat numbrit.

13. Mitmel viisil saab kolmnurga tippe tähistada tähti A, B, C, D kasutades?

1 tipp - 4 teed
2 tippkohtumist – 3 teed
3 ülemist - 2 viisi

Vastus: 24 viisi.

14. Mitu erinevat kolmekohalist arvu saab teha arvudest 1, 2, 3, 4, 5, eeldusel, et ükski arv ei kordu?

1 number – 5 viisi
2-kohaline – 4 viisi
3. number – 3 võimalust

Vastus: 60 erinevat numbrit.

15. Mitu erinevat alla 400 kolmekohalist arvu saab arvudest 1, 3, 5, 7, 9 teha, kui mõnda neist arvudest saab kasutada ainult üks kord?

1 number – 2 viisi
2-kohaline – 4 viisi
3. number – 3 võimalust

Vastus: 24 erinevat numbrit.

16. Kui mitut moodi saab lippu koostada kolmest erinevat värvi horisontaalsest triibust, kui on olemas kuuevärviline materjal?

1 rada - 6 teed
2 rada - 5 teed
3 rada - 4 teed

Vastus: 120 viisi.

17. Klassist valitakse välja 8 inimest, kellel on jooksmises parimad tulemused. Kui mitmel viisil saavad nad moodustada kolmeliikmelise võistkonna, et osaleda teatejooksus?

1 inimene - 8 teed
2 inimest - 7 teed
3 inimest - 6 teed

Vastus: 336 viisi.

18. Esimeses klassis peaks neljapäeval olema neli tundi: kirjutamine, lugemine, matemaatika ja kehaline kasvatus. Kui palju erinevaid ajakavasid saate selleks päevaks teha?

1 õppetund - 4 võimalust
2. õppetund – 3 viisi
3. õppetund – 2 viisi
Õppetund 4 – 1 viis

4 3 2 1 = 24

Vastus: 24 võimalust.

19. Viiendas klassis õpitakse 8 õppeainet. Mitu erinevat tunniplaani saab esmaspäevaks koostada, kui sellel päeval on 5 tundi ja kõik tunnid on erinevad?

1 õppetund - 8 võimalust
2. õppetund – 7 valikut
3. õppetund – 6 valikut
4. õppetund – 5 valikut
5. õppetund – 4 võimalust

8 7 6 5 4 = 6720

Vastus: 6720 võimalust.

20. Seifi šifr koosneb viiest erinevast numbrist. Kui palju erinevaid šifreid on?

1 number – 5 viisi
2-kohaline – 4 viisi
3. number – 3 võimalust
4 numbrit – 2 viisi
5-kohaline – 1-suunaline

5 4 3 2 1 = 120

Vastus: 120 võimalust.

21. Mitmel viisil saab 6 söögiriistaga laua taha istuda 6 inimest?

6 5 4 3 2 1 = 720

Vastus: 720 viisi.

22. Mitu varianti saab seitsmekohalistest telefoninumbritest teha, kui nullist ja 9-st algavad numbrid neist välja jätta?

1 number – 8 viisi
2-kohaline – 10 viisi
3 numbrit – 10 viisi
4 numbrit – 10 viisi
5. joonis - 10 võimalust
6 numbrit – 10 viisi
7. joonis - 10 võimalust

8 10 10 10 10 10 10 = 8.000.000

Vastus: 8 000 000 võimalust.

23. Telefonikeskjaam teenindab abonente, kelle telefoninumber koosneb 7 numbrist ja algab numbriga 394. Mitmele abonendile see jaam mõeldud on?

telefoninumber 394

10 10 10 10 = 10.000

Vastus: 10 000 tellijat.

24. Erinevas suuruses kindaid on 6 paari. Mitmel viisil saab nende hulgast valida ühe kinda vasakusse ja ühte paremasse kätte, et need kindad oleksid erineva suurusega?

Vasakpoolsed kindad - 6 võimalust
Parempoolsed kindad - 5 viisi (6 kindat on sama suured kui vasak)

Vastus: 30 viisi.

25 . Arvudest 1, 2, 3, 4, 5 koostatakse viiekohalised arvud, milles kõik numbrid on erinevad. Kui palju selliseid paarisarvusid?

5 numbrit – 2 viisi (kaks paarisnumbrit)
4 numbrit – 4 viisi
3. number – 3 võimalust
2 numbrit – 2 viisi
1 number – 1 viis

2 4 3 2 1 = 48

Vastus: 48 paarisarvu.

26. Mitu neljakohalist arvu, mis koosnevad paaritutest numbritest ja jaguvad 5-ga?

Paaritud numbrid - 1, 3, 5, 7, 9.
Neist jagunevad need 5-5-ks.

4-kohaline – ühesuunaline (number 5)
3 numbrit – 4 viisi
2-kohaline – 3 viisi
1 number – 2 viisi

1 4 3 2 = 24

Vastus: 24.

27. Mitu viiekohalist arvu on, mille kolmas koht on 7, viimane number paaris?

1 number – 9 viisi (kõik peale 0)
2-kohaline – 10 viisi
3-kohaline – ühesuunaline (number 7)
4 numbrit – 10 viisi
5. number – 5 viisi (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 1 10 5 = 4500

Vastus: 4500 numbrit.

28. Mitu kuuekohalist arvu on olemas, mille teine ​​number on 2, neljas on 4, kuues on 6 ja kõik ülejäänud on paaritud?

1 number – 5 valikut (1, 3, 5, 7, 9-st)
2-kohaline – 1 valik (number 2)
3. number – 5 valikut
4 numbrit – 1 valik (number 4)
5 numbrit – 5 valikut
6 numbrit – 1 valik (number 6)

5 1 5 1 5 1 = 125

Vastus: 125 numbrit.

29. Mitu erinevat alla miljoni arvu saab kirjutada kasutades numbreid 8 ja 9?

Ühekohalised numbrid - 2
Kahekohaline - 2 2 \u003d 4
Kolmekohaline - 2 2 2 \u003d 8
Neljakohaline - 2 2 2 2 \u003d 16
Viiekohaline – 2 2 2 2 2 = 32
Kuuekohaline – 2 2 2 2 2 2 = 64

Kokku: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

Vastus: 126 numbrit.

30. Jalgpallimeeskonnas on 11 inimest. Peate valima kapteni ja tema asetäitja. Kui mitmel viisil saab seda teha?

Kapten - 11 võimalust
Asetäitja - 10 viisi

Vastus: 110 viisi.

31. Klassis on 30 inimest. Kui mitmel moel saab nende hulgast valida koolijuhataja ja piletihalduri?

Juhataja – 30 viisi
Vastus. piletite jaoks - 29 teed

Vastus: 870 viisi.

32. Kampaanias osaleb 12 poissi, 10 tüdrukut ja 2 õpetajat. Mitu võimalust saab teha kolmeliikmelisi valvegruppe (1 poiss, 1 tüdruk, 1 õpetaja)?

12 10 2 = 240

Vastus: 240 viisi.

33. Mitu kombinatsiooni vene tähestiku neljast tähest (tähestikus on ainult 33 tähte) saab teha eeldusel, et 2 kõrvuti asetsevat tähte on erinevad?

Kombinatoorika on matemaatika haru, mis uurib küsimusi selle kohta, kui palju erinevaid kombinatsioone saab teatud tingimustel teha antud objektidest. Kombinatoorika põhitõed on juhuslike sündmuste tõenäosuste hindamisel väga olulised, sest just need võimaldavad arvutada sündmuste arengu erinevate stsenaariumide põhimõtteliselt võimaliku arvu.

Kombinatoorika põhivalem

Olgu siin k elementide rühma ja i-s rühm koosneb n i elemendist. Valime igast rühmast ühe elemendi. Siis määratakse sellise valiku tegemise viiside koguarv N seosega N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .

Näide 1 Selgitame seda reeglit lihtsa näitega. Olgu kaks elementide rühma, esimene rühm koosneb n 1 elemendist ja teine ​​- n 2 elemendist. Mitu erinevat elemendipaari saab nendest kahest rühmast teha nii, et paar sisaldaks igast rühmast ühte elementi? Oletame, et võtsime esimesest rühmast esimese elemendi ja, muutmata seda, käisime läbi kõik võimalikud paarid, muutes ainult teise rühma elemente. Selle elemendi jaoks on n 2 sellist paari. Seejärel võtame esimesest rühmast teise elemendi ja teeme selle jaoks ka kõik võimalikud paarid. Samuti saab olema n 2 sellist paari. Kuna esimeses rühmas on ainult n 1 elementi, on võimalikke valikuid n 1 *n 2.

Näide 2 Mitu kolmekohalist paarisarvu saab numbritest 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 teha, kui numbrid on korduvad?
Lahendus: n 1 \u003d 6 (kuna esimeseks numbriks võite võtta mis tahes numbri 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 \u003d 7 (kuna teiseks numbriks võite võtta mis tahes numbri alates 0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6), n 3 \u003d 4 (kuna kolmanda numbrina võite võtta mis tahes numbri 0, 2, 4, 6).
Niisiis, N = n 1 * n 2 * n 3 = 6 * 7 * 4 = 168.

Juhul, kui kõik rühmad koosnevad samast arvust elementidest, s.o. n 1 =n 2 =...n k =n võib eeldada, et iga valik tehakse samast grupist ja element naaseb peale valikut rühma. Siis on kõigi valikuviiside arv võrdne n k . Sellist kombinatoorika valikuviisi nimetatakse proovid tagastada.

Näide 3 Mitu neljakohalist arvu saab arvudest 1, 5, 6, 7, 8 teha?
Lahendus. Neljakohalise arvu iga numbri jaoks on viis võimalust, seega N=5*5*5*5=5 4 =625.

Vaatleme hulka, mis koosneb n elemendist. Seda komplekti kombinatoorikas nimetatakse üldine elanikkond.

Paigutuste arv n elemendist m võrra

Definitsioon 1. Majutus alates n elemendid poolt m kombinatoorikas nimetatakse mis tahes tellitud komplekt alates m aastal üldpopulatsioonist valitud erinevad elemendid n elemendid.

Näide 4 Kolme elemendi (1, 2, 3) erinevad paigutused kahekaupa moodustavad komplektid (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) , 2). Paigutused võivad üksteisest erineda nii elementide kui ka järjestuse poolest.

Paigutuste arv kombinatoorikas on tähistatud A n m-ga ja arvutatakse järgmise valemiga:

Kommentaar: n!=1*2*3*...*n (loe: "en faktoriaal"), lisaks eeldatakse, et 0!=1.

Näide 5. Mitu kahekohalist arvu on, milles kümnend ja ühikute arv on erinevad ja paaritud?
Lahendus: sest seal on viis paaritut numbrit, nimelt 1, 3, 5, 7, 9, siis taandub see probleem viiest erinevast numbrist kahe valimiseks ja paigutamiseks kahele erinevale positsioonile, st. antud numbrid on järgmised:

Definitsioon 2. Kombinatsioon alates n elemendid poolt m kombinatoorikas nimetatakse mis tahes tellimata komplekt alates m aastal üldpopulatsioonist valitud erinevad elemendid n elemendid.

Näide 6. Komplekti (1, 2, 3) jaoks on kombinatsioonid (1, 2), (1, 3), (2, 3).

N elemendi kombinatsioonide arv m võrra

Kombinatsioonide arv on tähistatud C n m-ga ja arvutatakse järgmise valemiga:

Näide 7 Kui mitmel viisil saab lugeja kuuest saadaolevast raamatust kaks valida?

Lahendus: Võimaluste arv võrdub kuue raamatu kombinatsioonide arvuga kahega, s.o. võrdub:

N elemendi permutatsioonid

Definitsioon 3. Permutatsioon alates n elemente nimetatakse mis tahes tellitud komplekt need elemendid.

Näide 7a. Kolmest elemendist (1, 2, 3) koosneva hulga kõikvõimalikud permutatsioonid on: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

N elemendi erinevate permutatsioonide arv on tähistatud P n-ga ja arvutatakse valemiga P n =n!.

Näide 8 Kui mitmel viisil saab riiulil järjestada seitset raamatut erinevatelt autoritelt?

Lahendus: see probleem on seotud seitsme erineva raamatu permutatsioonide arvuga. Raamatute paigutamiseks on P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 võimalust.

Arutelu. Näeme, et võimalike kombinatsioonide arvu saab arvutada erinevate reeglite järgi (permutatsioonid, kombinatsioonid, paigutused) ja tulemus on erinev, sest loendamise põhimõte ja valemid ise on erinevad. Definitsioone tähelepanelikult vaadates on näha, et tulemus sõltub korraga mitmest tegurist.

Esiteks, mitme elemendi põhjal saame nende hulki kombineerida (kui suur on elementide üldpopulatsioon).

Teiseks sõltub tulemus sellest, millise suurusega elementide komplekte me vajame.

Lõpuks on oluline teada, kas elementide järjekord komplektis on meie jaoks oluline. Selgitame viimast tegurit järgmise näitega.

Näide 9 Lastevanemate koosolekul on 20 inimest. Kui palju erinevaid variante on lastevanemate komisjoni koosseisus, kui sellesse peaks kuuluma 5 inimest?
Lahendus: Selles näites ei huvita meid komisjonide nimekirjas olevate nimede järjekord. Kui selle tulemusena ilmuvad selle koosseisus samad inimesed, siis meie jaoks on see tähenduse poolest sama variant. Seetõttu saame arvu arvutamiseks kasutada valemit kombinatsioonid 20 elemendist 5.

Asjad on teisiti, kui iga komitee liige vastutab algselt teatud töövaldkonna eest. Siis on sama komitee palgal selle sees 5 võimalik! valikuid permutatsioonid see asi. Erinevate (nii koosseisu kui ka vastutusala poolest) valikute arvu määrab sel juhul arv paigutused 20 elemendist 5.

Enesekontrolli ülesanded
1. Mitu kolmekohalist paarisarvu saab arvudest 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 teha, kui arve saab korrata?

2. Mitu viiekohalist numbrit on samamoodi vasakult paremale ja paremalt vasakule?

3. Klassis on kümme ainet ja viis tundi päevas. Kui mitmel viisil saate ühe päeva ajakava koostada?

4. Mitmel viisil saab konverentsile valida 4 delegaati, kui rühmas on 20 inimest?

5. Mitmel viisil saab kaheksa erinevat tähte panna kaheksasse erinevasse ümbrikusse, kui igasse ümbrikusse on pandud ainult üks täht?

6. Kolmest matemaatikust ja kümnest majandusteadlasest on vaja teha komisjon, mis koosneb kahest matemaatikust ja kuuest majandusteadlasest. Kui mitmel viisil saab seda teha?

Vastus: 24 .

Paljud ülesanded on aga lahendatavad kiiremini ja lihtsamalt. Selleks peate teadma lihtsamaid kombinatsioone, mida saab moodustada lõpliku hulga elementidest.

Ja üks esimesi selliseid kombinatsioone - permutatsioonid.

Kaaluge näide.

Raamatuid on kolm. Märgistame need tähtedega. a , b ja c .Neid raamatuid tuleb riiulile paigutada erineval viisil:

abkoos ja koosb, ba s,ba-ga, a-gab, Koosba.

Kõiki neid paigutusi nimetatakse kolme elemendi permutatsiooniks.

n elemendi permutatsiooniks nimetatakse nende elementide igat paigutust kindlas järjekorras.

Määrake: R n = n ! ( n faktoriaalne).

n! =.

Näiteks: 3! =
, 1! = 1.

Seetõttu saab raamatutega seotud probleemi lahendada järgmiselt:

P 3 =
.

Ülesanne number 1.

Kui mitmel viisil saavad 4 inimest istuda 4-kohalisel pingil?

P 4 =

Ülesanne number 2.

Mitu erinevat neljakohalist arvu, milles numbrid ei kordu, saab arvudest 0,2, 4,6 teha?

Lahendus: arvudest 0,2.4.6 saab teha P 4 permutatsioone. Sellest numbrist peate välistama need permutatsioonid, mis algavad 0-ga.

Selliste permutatsioonide arv Р 3 . Seega on soovitud neljakohaliste arvude arv, mille saab moodustada arvudest 0,2,4,6:

P 4 - P 3 \u003d 4!-3! \u003d Vastus: 18.

Ülesanne number 3.

Seal on 9 erinevat raamatut, millest neli on õpikud.

Mitu moodi saab raamatuid riiulile paigutada nii, et kõik õpikud on kõrvuti?

Lahendus: Algul käsitleme õpikuid ühe raamatuna. Siis on riiulil vaja paigutada mitte 9, vaid 6 raamatut. Seda saab teha 6 viisil.

Ja igas saadud kombinatsioonis saate sooritada õpikute R 4 permutatsiooni. See tähendab, et soovitud arv raamatute paigutamise viise on võrdne tootega: P 6 * P 4 \u003d

Ülesanne number 4.

Esmaspäeva tunniplaanis on kuus tundi: algebra, geomeetria, bioloogia, ajalugu, kehaline kasvatus, keemia.

Kui mitmel viisil saab päeva tunniplaani koostada nii, et kaks matemaatikatundi on kõrvuti?

Lahendus: P6 * P2=

Vastus: 1440.

Teist tüüpi kombinatsioonid on majutus.

Olgu seal 4 palli ja 3 tühja lahtrit. Tähistame pallid tähtedega a , b , c , d .

Selle komplekti kolm palli saab paigutada tühjadesse lahtritesse erineval viisil .

jne. Iga järjestatud kolmikut, mis võib koosneda neljast elemendist, nimetatakse neljast kolmest elemendist koosnevaks paigutuseks ja seda tähistatakse tähega A

Tabelist on näha, et selliseid kombinatsioone on 24.

Majutus alates n elemendid poolt k ( n k ) on mis tahes komplekt, mis koosneb k elemendid, mis on võetud andmetest kindlas järjekorras n elemendid ja on tähistatud AGA .

Ja diagramme või tabeleid pole vaja iga kord koostada. Piisab valemi teadmisest:

Kui paigutused koosnevad n elemendist, igaüks n, siis A