Tõenäosusteooria lihtsas keeles. Tõenäosusteooria: ülesannete lahendamise valemid ja näited

Matemaatika programmeerijatele: tõenäosusteooria

Ivan Kamyshan

Mõned programmeerijad mõtlevad pärast tavapäraste kommertsrakenduste väljatöötamist masinõppe omandamisele ja andmeanalüütikuks saamisele. Sageli ei saa nad aru, miks teatud meetodid töötavad, ja enamik masinõppemeetodeid tunduvad võluväel. Tegelikult põhineb masinõpe matemaatilisel statistikal ja see omakorda tõenäosusteoorial. Seetõttu pöörame selles artiklis tähelepanu tõenäosusteooria põhimõistetele: puudutame tõenäosuse, jaotuse definitsioone ja analüüsime mõnda lihtsat näidet.

Võib-olla teate, et tõenäosusteooria jaguneb tinglikult kaheks osaks. Diskreetne tõenäosusteooria uurib nähtusi, mida saab kirjeldada lõpliku (või loendatava) arvuga jaotusega valikuid käitumine (viskamine täringut, mündid). Pidev tõenäosusteooria uurib nähtusi, mis on jaotunud mõnel tihedal hulgal, näiteks lõigul või ringis.

Tõenäosusteooria teemat on võimalik käsitleda lihtsa näitega. Kujutage ette end laskuri arendajana. Selle žanri mängude arendamise lahutamatu osa on laskmise mehaanika. On selge, et laskur, milles kõik relvad tulistavad absoluutselt täpselt, pakub mängijatele vähe huvi. Seetõttu on vaja lisada relvale levikut. Kuid lihtsalt relva tabamuspunktide randomiseerimine ei võimalda peenhäälestamist, seega on mängu tasakaalu kohandamine keeruline. Samal ajal saab juhuslikke muutujaid ja nende jaotusi kasutades analüüsida, kuidas relv antud leviga töötab, ning aidata teha vajalikke kohandusi.

Elementaarsete tulemuste ruum

Oletame, et mõnest juhuslikust katsest, mida saame mitu korda korrata (näiteks mündi viskamine), saame välja võtta vormistatava teabe (pead või sabad). Seda teavet nimetatakse elementaarseks tulemuseks ja on kasulik arvestada kõigi elementaarsete tulemuste kogumit, mida sageli tähistatakse tähega Ω (Omega).

Selle ruumi struktuur sõltub täielikult katse olemusest. Näiteks kui kaalume laskmist piisavalt suure ringikujulise sihtmärgi pihta, on elementaarsete tulemuste ruumiks mugavuse huvides ring, mille keskpunkt on null, ja tulemuseks on selle ringi punkt.

Lisaks arvestavad nad elementaarsete tulemuste kogumitega - sündmustega (näiteks "esikümnesse" jõudmine on väikese raadiusega kontsentriline ring sihtmärgiga). Diskreetsel juhul on kõik üsna lihtne: me võime saada mis tahes sündmuse, kaasa arvatud või välistades elementaarsed tulemused piiratud aja jooksul. Pideva puhul on aga kõik palju keerulisem: me vajame arvestamiseks mõnda piisavalt head hulkade perekonda, mida nimetatakse algebraks, analoogia põhjal lihtsate reaalarvudega, mida saab liita, lahutada, jagada ja korrutada. Algebras olevaid hulki saab ristuda ja kombineerida ning tehte tulemus on algebras. See on väga oluline vara matemaatika jaoks, mis on kõigi nende mõistete taga. Minimaalne perekond koosneb ainult kahest komplektist - tühjast komplektist ja elementaarsete tulemuste ruumist.

Mõõt ja tõenäosus

Tõenäosus on viis teha järeldusi väga keerukate objektide käitumise kohta, mõistmata nende toimimist. Seega defineeritakse tõenäosus sündmuse funktsioonina (sellest väga heast hulgaperekonnast), mis tagastab arvu – mingi tunnuse selle kohta, kui sageli selline sündmus tegelikkuses toimuda võib. Kindluse mõttes leppisid matemaatikud kokku, et see arv peaks jääma nulli ja ühe vahele. Lisaks esitatakse sellele funktsioonile nõuded: võimatu sündmuse tõenäosus on null, kogu tulemuste kogumi tõenäosus on ühtsus ja kahe sõltumatu sündmuse (disjunktsete kogumite) kombineerimise tõenäosus on võrdne tõenäosuste summaga. . Teine tõenäosuse nimi on tõenäosusmõõt. Kõige sagedamini kasutatav Lebesgue'i mõõt, mis üldistab pikkuse, pindala, ruumala mõisted mis tahes mõõtmetele (n-mõõtmeline ruumala) ja seega on see rakendatav laia hulga hulga jaoks.

Üheskoos nimetatakse elementaarsete tulemuste hulga, hulkade perekonna ja tõenäosuse hulka tõenäosusruum. Vaatame, kuidas saame konstrueerida sihikule laskmise näite jaoks tõenäosusruumi.

Kaaluge tulistamist suure ümmarguse sihtmärgi pihta raadiusega R, millest ei saa mööda vaadata. Elementaarsündmuste kogumina paneme ringi, mille keskpunkt on raadiusega R koordinaatide alguspunkt. Kuna me kavatseme sündmuse tõenäosuse kirjeldamiseks kasutada pindala (Lebesgue'i mõõt kahemõõtmeliste hulkade jaoks), kasutame mõõdetavate (mille jaoks see mõõt on olemas) hulkade perekonda.

Märkus. Tegelikult on see tehniline punkt ja lihtsate ülesannete puhul ei mängi mõõdu ja komplektide perekonna määramise protsess erilist rolli. Kuid on vaja mõista, et need kaks objekti on olemas, sest paljudes tõenäosusteooria raamatutes algavad teoreemid sõnadega: " Olgu (Ω,Σ,P) tõenäosusruum…».

Nagu eespool mainitud, peab kogu elementaarsete tulemuste ruumi tõenäosus olema võrdne ühega. Ringi pindala (kahemõõtmeline Lebesgue'i mõõt, mida tähistame λ 2 (A), kus A on sündmus) koolist tuntud valemi järgi on π * R 2. Seejärel saame sisestada tõenäosuse P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) ja see väärtus jääb iga sündmuse A puhul juba vahemikku 0 ja 1.

Kui eeldame, et sihtmärgi mis tahes punkti tabamine on võrdselt tõenäoline, taandatakse laskja tabamise tõenäosuse otsimine mõnes sihtmärgi piirkonnas selle komplekti ala leidmisele (seega võime järeldada, et konkreetse punkti tabamise tõenäosus on null, kuna punkti pindala on null).

Näiteks tahame teada, kui suur on tõenäosus, et laskur tabab "kümnesse" (sündmus A – laskur tabas õiget komplekti). Meie mudelis on "kümme" kujutatud ringiga, mille keskpunkt on null ja mille raadius on r. Siis on sellesse ringi sattumise tõenäosus P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2 .

See on üks lihtsamaid ülesandeid " geomeetriline tõenäosus”, - enamik neist ülesannetest nõuab piirkonna leidmist.

juhuslikud muutujad

Juhuslik muutuja on funktsioon, mis teisendab elementaarsed tulemused reaalarvudeks. Näiteks saame vaadeldavas ülesandes kasutusele võtta juhusliku suuruse ρ(ω) - kauguse löögipunktist sihtmärgi keskpunktini. Meie mudeli lihtsus võimaldab meil selgesõnaliselt täpsustada elementaarsete tulemuste ruumi: Ω = (ω = (x,y) arvud nii, et x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . Siis juhuslik suurus ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .

Tõenäosusruumist abstraktsiooni vahendid. Jaotusfunktsioon ja tihedus

On hea, kui ruumi struktuur on hästi teada, kuid tegelikkuses see alati nii ei ole. Isegi kui ruumi struktuur on teada, võib see olla keeruline. Juhuslike muutujate kirjeldamiseks, kui nende avaldis on teadmata, on olemas jaotusfunktsiooni mõiste, mida tähistatakse F ξ (x) = P(ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение juhuslik muutujaξ sellel sündmusel on väiksem kui antud parameeter x .

Jaotusfunktsioonil on mitu omadust:

1. Esiteks on see 0 ja 1 vahel.
2. Teiseks, see ei vähene, kui selle argument x suureneb.
3. Kolmandaks, kui arv -x on väga suur, on jaotusfunktsioon lähedane 0-le ja kui x ise on suur, on jaotusfunktsioon lähedane 1-le.

Tõenäoliselt pole selle konstruktsiooni tähendus esimesel lugemisel väga selge. Üks neist kasulikud omadused– jaotusfunktsioon võimaldab otsida tõenäosust, et väärtus võtab intervallist väärtuse. Niisiis, P (juhuslik muutuja ξ võtab väärtused vahemikust ) = F ξ (b)-F ξ (a) . Selle võrdsuse põhjal saame uurida, kuidas see väärtus muutub, kui intervalli piirid a ja b on lähedased.

Olgu d = b-a , siis b = a+d . Ja seetõttu F ξ (b)-F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . Väikeste d väärtuste korral on ülaltoodud erinevus samuti väike (kui jaotus on pidev). Mõttekas on käsitleda seost p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d . Kui d piisavalt väikeste väärtuste korral erineb see suhe vähe mõnest konstandist p ξ (a) , mis ei sõltu d-st, siis sellel hetkel on juhusliku suuruse tihedus võrdne p ξ (a) .

Märkus. Lugejad, kes on varem kokku puutunud tuletise mõistega, võivad märgata, et p ξ (a) on funktsiooni F ξ (x) tuletis punktis a . Igal juhul saate tuletise mõistet uurida sellele teemale pühendatud artiklis Mathprofi veebisaidil.

Nüüd saab jaotusfunktsiooni tähendust defineerida järgmiselt: selle tuletis (tihedus p ξ , mille me eespool defineerisime) punktis a kirjeldab, kui sageli juhuslik suurus langeb väikesesse intervalli, mille keskpunkt on punkt a (punkti a naabrus). võrreldes teiste punktide linnaosadega. Teisisõnu, mida kiiremini jaotusfunktsioon kasvab, seda suurem on tõenäosus, et selline väärtus juhuslikus katses ilmub.

Tuleme tagasi näite juurde. Saame arvutada jaotusfunktsiooni juhuslikule suurusele ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 , mis tähistab kaugust keskpunktist punktini. juhuslik tabamus sihtmärgi sisse. Definitsiooni järgi F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} – состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0

Leiame selle juhusliku suuruse tiheduse p ρ. Märgime kohe, et väljaspool intervalli on see null, kuna jaotusfunktsioon sellel intervallil on muutumatu. Selle intervalli lõpus tihedust ei määrata. Intervalli sees saab selle leida tuletiste tabeli (näiteks Mathprofi veebisaidilt) ja elementaarsete diferentseerimisreeglite abil. t2/R2 derivaat on 2t/R2. See tähendab, et leidsime tiheduse kogu reaalarvude teljel.

Teine kasulik tiheduse omadus on tõenäosus, et funktsioon võtab intervallist väärtuse, arvutatakse selle intervalli tiheduse integraali abil (mis see on, saate teada Mathprofi veebisaidi õigete, ebaõigete ja määramata integraalide artiklitest ).

Esimesel lugemisel võib funktsiooni f(x) ulatusintegraali pidada kõverjoonelise trapetsi pindalaks. Selle küljed on Ox-telje fragment, vahe (horisontaalse koordinaattelje), vertikaalsed segmendid, mis ühendavad kõvera punkte (a,f(a)), (b,f(b)) punktidega (a, 0), (b,0 ) x-teljel. Viimane pool on funktsiooni f graafiku fragment alates (a,f(a)) kuni (b,f(b)) . Integraalist üle intervalli (-∞; b] saab rääkida siis, kui piisavalt suurte negatiivsete väärtuste korral a muutub integraali väärtus intervalli lõikes tühiselt väikeseks võrreldes arvu a muutusega. Integraal üle intervalli intervallid on määratletud sarnaselt)