Вариационный ряд состоит. Статистическое изучение вариационных рядов и расчет средних величин

Условие:

Имеются данные о возрастном составе рабочих (лет): 18, 38, 28, 29, 26, 38, 34, 22, 28, 30, 22, 23, 35, 33, 27, 24, 30, 32, 28, 25, 29, 26, 31, 24, 29, 27, 32, 25, 29, 29.

1. 1. Построить интервальный ряд распределения.
   2. Построить графическое изображение ряда.
   3. Графически определить моду и медиану.

Решение:

1) По формуле Стерджесса совокупность надо разделить на 1 + 3,322 lg 30 = 6 групп.

Максимальный возраст - 38, минимальный - 18.

Ширина интервала Так как концы интервалов должны быть целыми числами, разделим совокупность на 5 групп. Ширина интервала - 4.

Для облегчения подсчетов расположим данные в порядке возрастания: 18, 22, 22, 23, 24, 24, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 28, 28, 28, 29, 29, 29, 29, 29, 30, 30, 31, 32, 32, 33, 34, 35, 38, 38.

Распределение возрастного состава рабочих

Графически ряд можно изобразить в виде гистограммы или полигона. Гистограмма - столбиковая диаграмма. Основание столбика - ширина интервала. Высота столбика равна частоте.

Полигон (или многоугольник распределения) - график частот. Чтобы его построить по гистограмме, соединяем середины верхних сторон прямоугольников. Многоугольник замыкаем на оси Ох на расстояниях, равных половине интервала от крайних значений х.

Мода (Мо) - это величина изучаемого признака, которая в данной совокупности встречается наиболее часто.

Чтобы определить моду по гистограмме, надо выбрать самый высокий прямоугольник, провести линию от правой вершины этого прямоугольника к правому верхнему углу предыдущего прямоугольника, и от левой вершины модального прямоугольника провести линию к левой вершине последующего прямоугольника. От точки пересечения этих линий провести перпендикуляр к оси х. Абсцисса и будет модой. Мо ≈ 27,5. Значит, наиболее часто встречаемый возраст в данной совокупности 27-28 лет.

Медиана (Mе) - это величина изучаемого признака, которая находится в середине упорядоченного вариационного ряда.

Медиану находим по кумуляте. Кумулята - график накопленных частот. Абсциссы - варианты ряда. Ординаты - накопленные частоты.

Для определения медианы по кумуляте находим по оси ординат точку, соответствующую 50% накопленных частот (в нашем случае 15), проводим через неё прямую, параллельно оси Ох, и от точки её пересечения с кумулятой проводим перпендикуляр к оси х. Абсцисса является медианой. Ме ≈ 25,9. Это означает, что половина рабочих в данной совокупности имеет возраст менее 26 лет.

Совокупность значений изученного в данном эксперименте или наблюдении параметра, проранжированных по величине (возрастания или убывания) называется вариационным рядом.

Предположим, что мы измерили артериальное давление у десяти пациентов с целью получить верхний порог АД: систолическое давление, т.е. только одно число.

Представим, что серия наблюдений (статистическая совокупность) артериального систолического давления в 10-ти наблюдениях имеет следующий вид (табл. 1):

Таблица 1

Составляющие вариационного ряда называются вариантами. Варианты представляют собой числовое значение изучаемого признака.

Построение из статистической совокупности наблюдений вариационного ряда - только первый шаг к осмыслению особенностей всей совокупности. Далее необходимо определить средний уровень изучаемого количественного признака (средний уровень белка крови, средний вес пациентов, среднее время наступления наркоза и т.д.)

Средний уровень измеряют с помощью критериев, которые носят название средних величин. Средняя величина - обобщающая числовая характеристика качественно однородных величин, характеризующая одним числом всю статистическую совокупность по одному признаку. Средняя величина выражает то общее, что характерно для признака в данной совокупности наблюдений.

Общеупотребительными являются три вида средних величин: мода (), медиана () и среднеарифметическая величина ().

Для определения любой средней величины необходимо использовать результаты индивидуальных наблюдений, записав их в виде вариационного ряда (табл. 2).

Мода - значение, наиболее часто встречающееся в серии наблюдений. В нашем примере мода = 120. Если в вариационном ряду нет повторяющихся значений, то говорят, что мода отсутствует. Если несколько значений повторяются одинаковое количество раз, то в качестве моды берут наименьшее из них.

Медиана - значение, делящее распределение на две равные части, центральное или срединное значение серии наблюдений, упорядоченных по возрастанию или убыванию. Так, если в вариационном ряду 5 значений, то его медиана равна третьему члену вариационного ряда, если в ряду четное количество членов, то медиана представляет собой среднее арифметическое двух его центральных наблюдений, т.е. если в ряду 10 наблюдений, то медиана равна среднему арифметическому 5 и 6 наблюдения. В нашем примере.

Заметим важную особенность моды и медианы: на их величины не оказывают влияние числовые значения крайних вариант.

Средняя арифметическая величина рассчитывается по формуле:

где - наблюденная величина в -том наблюдении, а - число наблюдений. Для нашего случая.

Средняя арифметическая величина обладает тремя свойствами:

Средняя занимает серединное положение в вариационном ряду. В строго симметричном ряду.

Средняя является обобщающей величиной и за средней не видны случайные колебания, различия в индивидуальных данных. Она отражает то типичное, что характерно для всей совокупности.

Сумма отклонений всех вариант от средней равна нулю: . Отклонение вариант от средней обозначается.

Вариационный ряд состоит из вариант и соответствующих им частот. Из десяти полученных значений цифра 120 встретилась 6 раз, 115 - 3 раза, 125 - 1 раз. Частота () - абсолютная численность отдельных вариант в совокупности, указывающая, сколько раз встречается данная варианта в вариационном ряду.

Вариационный ряд может быть простым (частоты = 1) или сгруппированным укороченным, по 3-5 вариант. Простой ряд используется при малом числе наблюдений (), сгруппированный - при большом числе наблюдений ().

Различные выборочные значения назовемвариантами ряда значений и обозначим: х 1 , х 2 , …. Прежде всего произведем ранжирование вариантов, т.е. расположение их в порядке возрастания или убывания. Для каждого варианта указывается свой вес, т.е. число, которое характеризует вклад данного варианта в общую совокупность. В качестве весов выступают частоты или частости.

Частотой n i варианта х i называется число, показывающее сколько раз встречается данный вариант в рассматриваемой выборочной совокупности.

Частостью или относительной частотой w i варианта х i называется число, равное отношению частоты варианта к сумме частот всех вариантов. Частость показывает, какая часть единиц выборочной совокупности имеет данный вариант.

Последовательность вариантов с соответствующими им весами (частотами или частостями), записанная в порядке возрастания (или убывания), называется вариационным рядом .

Вариационные ряды бывают дискретными и интервальными.

Для дискретного вариационного ряда задаются точечные значения признака, для интервального – значения признака задаются в виде интервалов. Вариационные ряды могут показывать распределение частот или относительных частот (частостей), в зависимости от того, какая величина указывается для каждого варианта – частота или частость.

Дискретный вариационный ряд распределения частот имеет вид:

Частости находятся по формуле , i = 1, 2, …, m .

w 1 + w 2 + … + w m = 1.

Пример 4.1. Для данной совокупности чисел

4, 6, 6, 3, 4, 9, 6, 4, 6, 6

построить дискретные вариационные ряды распределения частот и частостей.

Решение . Объем совокупности равен n = 10. Дискретный ряд распределения частот имеет вид

Аналогичную форму записи имеют интервальные ряды.

Интервальный вариационный ряд распределения частот записывается в виде:

Сумма всех частот равна общему числу наблюдений, т.е. объему совокупности: n = n 1 + n 2 + … + n m .

Интервальный вариационный ряд распределения относительных частот (частостей) имеет вид:

Частость находится по формуле , i = 1, 2, …, m .

Сумма всех частостей равна единице: w 1 + w 2 + … + w m = 1.

Наиболее часто на практике применяются интервальные ряды. Если статистических выборочных данных очень много и их значения отличаются друг от друга на сколь угодно малую величину, то дискретный ряд для этих данных будет достаточно громоздким и неудобным для дальнейшего исследования. В этом случае применяют группировку данных, т.е. промежуток, содержащий все значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов и, подсчитав частоту для каждого интервала, получают интервальный ряд. Запишем более подробно схему построения интервального ряда, предположив, что длины частичных интервалов будут одинаковыми.

2.2 Построение интервального ряда

Для построения интервального ряда нужно:

Определить число интервалов;

Определить длину интервалов;

Определить расположение интервалов на оси.

Для определения числа интервалов k существует формула Стерджеса, по которой

,

где n - объем всей совокупности.

Например, если имеется 100 значений признака (вариант), то рекомендуется для построения интервального ряда взять число интервалов равным интервалам.

Однако очень часто на практике число интервалов выбирает сам исследователь, учитывая, что это число не должно быть очень большим, чтобы ряд не был громоздким, но и не очень маленьким, чтобы не потерять некоторых свойств распределения.

Длина интервала h определяется по следующей формуле:

,

где x max и x min - это соответственно самое большое и самое маленькое значения вариантов.

Величину называют размахом ряда.

Для построения самих интервалов поступают по-разному. Один из самых простых способов заключается в следующем. За начало первого интервала принимают величину
. Тогда остальные границы интервалов находятся по формуле . Очевидно, что конец последнего интервала a m+1 должен удовлетворять условию

После того как найдены все границы интервалов, определяют частоты (или частости) этих интервалов. Для решения этой задачи просматривают все варианты и определяют число вариант, попавших в тот или иной интервал. Полное построение интервального ряда рассмотрим на примере.

Пример 4.2. Для следующих статистических данных, записанных в порядке возрастания, построить интервальный ряд с числом интервалов, равным 5:

11, 12, 12, 14, 14, 15, 21, 21, 22, 23, 25, 38, 38, 39, 42, 42, 44, 45, 50, 50, 55, 56, 58, 60, 62, 63, 65, 68, 68, 68, 70, 75, 78, 78, 78, 78, 80, 80, 86, 88, 90, 91, 91, 91, 91, 91, 93, 93, 95, 96.

Решение. Всего n =50 значений вариантов.

Число интервалов задано в условии задачи, т.е. k =5.

Длина интервалов равна
.

Определим границы интервалов:

a 1 = 11 − 8,5 = 2,5; a 2 = 2,5 + 17 = 19,5; a 3 = 19,5 + 17 = 36,5;

a 4 = 36,5 + 17 = 53,5; a 5 = 53,5 + 17 = 70,5; a 6 = 70,5 + 17 = 87,5;

a 7 = 87,5 +17 = 104,5.

Для определения частоты интервалов посчитываем число вариантов, попавших в данный интервал. Например, в первый интервал от 2,5 до 19,5 попадают варианты 11, 12, 12, 14, 14, 15. Их число равно 6, следовательно, частота первого интервала равна n 1 =6. Частость первого интервала равна . Во второй интервал от 19,5 до 36,5 попадают варианты 21, 21, 22, 23, 25, число которых равно 5. Следовательно, частота второго интервала равна n 2 =5, а частость . Найдя аналогичным образом частоты и частости для всех интервалов, получим следующие интервальные ряды.

Интервальный ряд распределения частот имеет вид:

Сумма частот равна 6+5+9+11+8+11=50.

Интервальный ряд распределения частостей имеет вид:

Сумма частостей равна 0,12+0,1+0,18+0,22+0,16+0,22=1. ■

При построении интервальных рядов, в зависимости от конкретных условий рассматриваемой задачи, могут применяться и другие правила, а именно

1. Интервальные вариационные ряды могут состоять из частичных интервалов разной длины. Неравные длины интервалов позволяют выделить свойства статистической совокупности с неравномерным распределением признака. Например, если границы интервалов определяют численность жителей в городах, то целесообразно в данной задаче использовать неравные по длине интервалы. Очевидно, что для небольших городов имеет значение и небольшая разница в числе жителей, а для больших городов разница в десятки и сотни жителей не имеет существенного значения. Интервальные ряды с неравными длинами частичных интервалов исследуются, в основном, в общей теории статистики и их рассмотрение выходит за рамки данного пособия.

2. В математической статистике иногда рассматривают интервальные ряды, для которых левую границу первого интервала полагают равной –∞, а правую границу последнего интервала +∞. Это делается для того, чтобы приблизить статистическое распределение к теоретическому.

3. При построении интервальных рядов может оказаться, что значение какого-то варианта совпадает в точности с границей интервала. Лучше всего в этом случае поступить следующим образом. Если такое совпадение только одно, то считать, что рассматриваемый вариант со своей частотой попал в интервал, находящийся ближе к середине интервального ряда, если таких вариантов несколько, то либо все их отнести к правым от этих вариант интервалам, либо все – к левым.

4. После определения числа интервалов и их длины, расположение интервалов можно производить и по другому способу. Находят среднее арифметическое всех рассматриваемых значений вариантов х ср. и строят первый интервал таким образом, чтобы это среднее выборочное находилось бы внутри какого-то интервала. Таким образом, получаем интервал от х ср. – 0,5h до х ср.. + 0,5h . Затем влево и вправо, прибавляя длину интервала, строим остальные интервалы до тех пор, пока x min и x max не попадут соответственно в первый и последний интервалы.

5. Интервальные ряды при большом числе интервалов удобно записывать вертикально, т.е. интервалы записывать не в первой строке, а в первом столбце, а частоты (или частости) во втором столбце.

Выборочные данные могут рассматриваться как значения некоторой случайной величины Х . Случайная величина имеет свой закон распределения. Из теории вероятностей известно, что закон распределения дискретной случайной величины можно задать в виде ряда распределения, а непрерывной – с помощью функции плотности распределения. Однако существует универсальный закон распределения, который имеет место и для дискретной и для непрерывной случайных величин. Этот закон распределения задается в виде функции распределения F (x ) = P (X <x ). Для выборочных данных можно указать аналог функции распределения – эмпирическую функцию распределения.

Группировка – это разбиение совокупности на группы, однородные по какому-либо признаку.

Назначение сервиса . С помощью онлайн-калькулятора Вы сможете:

• построить вариационный ряд , построить гистограмму и полигон;
• найти показатели вариации (среднюю, моду (в т.ч. и графическим способом), медиану, размах вариации, квартили, децили, квартильный коэффициент дифференциации, коэффициент вариации и другие показатели);

Инструкция . Для группировки ряда необходимо выбрать вид получаемого вариационного ряда (дискретный или интервальный) и указать количество данных (количество строк). Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример группировки статистических данных).

Если группировка уже осуществлена и заданы дискретный вариационный ряд или интервальный ряд , то необходимо воспользоваться онлайн-калькулятором Показатели вариации . Проверка гипотезы о виде распределения производится с помощью сервиса Изучение формы распределения .

Виды статистических группировок

Вариационный ряд . В случае наблюдений дискретной случайной величины одно и то же значение можно встретить несколько раз. Такие значения x i случайной величины записывают с указанием n i числа раз его появления в n наблюдениях, это и есть частота данного значения.
В случае непрерывной случайной величины на практике применяют группировку.

1. Типологическая группировка – это разделение исследуемой качественно разнородной совокупности на классы, социально–экономические типы, однородные группы единиц. Для построения данной группировки используйте параметр Дискретный вариационный ряд.
2. Структурной называется группировка , в которой происходит разделение однородной совокупности на группы, характеризующие ее структуру по какому–либо варьирующему признаку. Для построения данной группировки используйте параметр Интервальный ряд.
3. Группировка, выявляющая взаимосвязи между изучаемыми явлениями и их признаками, называется аналитической группировкой (см. аналитическая группировка ряда).

Пример №1 . По данным таблицы 2 постройте ряды распределения по 40 коммерческим банкам РФ. По полученным рядам распределения определите: прибыль в среднем на один коммерческий банк, кредитные вложения в среднем на один коммерческий банк, модальное и медианное значение прибыли; квартили, децили, размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Решение :
В разделе «Вид статистического ряда» выбираем Дискретный ряд. Нажимаем Вставить из Excel . Количество групп: по формуле Стэрджесса

Принципы построения статистических группировок

Ряд наблюдений, упорядоченных по возрастанию, называется вариационным рядом . Группировочным признаком называется признак, по которому производится разбивка совокупности на отдельные группы. Его называют основанием группировки. В основание группировки могут быть положены как количественные, так и качественные признаки.
После определения основания группировки следует решить вопрос о количестве групп, на которые надо разбить исследуемую совокупность.

При использовании персональных компьютеров для обработки статистических данных группировка единиц объекта производится с помощью стандартных процедур.
Одна из таких процедур основана на использовании формулы Стерджесса для определения оптимального числа групп:

k = 1+3,322*lg(N)

Где k – число групп, N – число единиц совокупности.

Длину частичных интервалов вычисляют как h=(x max -x min)/k

Затем подсчитывают числа попаданий наблюдений в эти интервалы, которые принимают за частоты n i . Малочисленные частоты, значения которых меньше 5 (n i < 5), следует объединить. в этом случае надо объединить и соответствующие интервалы.
В качестве новых значений вариант берут середины интервалов x i =(c i-1 +c i)/2.

Пример №3 . В результате 5%-ной собственно-случайной выборки получено следующее распределение изделий по содержанию влаги. Рассчитайте: 1) средний процент влажности; 2) показатели, характеризующие вариацию влажности.
Решение получено с помощью калькулятора : Пример №1

Построить вариационный ряд. По найденному ряду построить полигон распределения, гистограмму, кумуляту. Определить моду и медиану.
Скачать решение

Пример . По результатам выборочного наблюдения (выборка А приложение):
а) составьте вариационный ряд;
б) вычислите относительные частоты и накопленные относительные частоты;
в) постройте полигон;
г) составьте эмпирическую функцию распределения;
д) постройте график эмпирической функции распределения;
е) вычислите числовые характеристики: среднее арифметическое, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Решение

На основе данных, приведенных в Таблице 4 (Приложение 1) и соответствующих Вашему варианту, выполнить:

1. На основе структурной группировки построить вариационный частотный и кумулятивный ряды распределения, используя равные закрытые интервалы, приняв число групп равным 6. Результаты представить в виде таблицы и изобразить графически.
2. Проанализировать вариационный ряд распределения, вычислив:
   • среднее арифметическое значение признака;
   • моду, медиану, 1-ый квартиль, 1-ый и 9-тый дециль;
   • среднее квадратичное отклонение;
   • коэффициент вариации.
3. Сделать выводы.

Требуется: ранжировать ряд, построить интервальный ряд распределения, вычислить среднее значение, колеблемость среднего значения, моду и медиану для ранжированного и интервального рядов.

На основе исходных данных построить дискретный вариационный ряд ; представить его в виде статистической таблицы и статистических графиков. 2). На основе исходных данных построить интервальный вариационный ряд с равными интервалами. Число интервалов выбрать самостоятельно и объяснить этот выбор. Представить полученный вариационный ряд в виде статистической таблицы и статистических графиков. Указать виды примененных таблиц и графиков.

С целью определения средней продолжительности обслуживания клиентов в пенсионном фонде, число клиентов которого очень велико, по схеме собственно-случайной бесповторной выборки проведено обследование 100 клиентов. Результаты обследования представлены в таблице. Найти:
а) границы, в которых с вероятностью 0.9946 заключено среднее время обслуживания всех клиентов пенсионного фонда;
б) вероятность того, что доля всех клиентов фонда с продолжительностью обслуживания менее 6 минут отличается от доли таких клиентов в выборке не более чем на 10% (по абсолютной величине);
в) объем повторной выборки, при котором с вероятностью 0.9907 можно утверждать, что доля всех клиентов фонда с продолжительностью обслуживания менее 6 минут отличается от доли таких клиентов в выборке не более чем на 10% (по абсолютной величине).
2. По данным задачи 1, используя X 2 критерий Пирсона, на уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – время обслуживания клиентов – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Скачать решение

Дана выборка из 100 элементов. Необходимо:

1. Построить ранжированный вариационный ряд;
2. Найти максимальный и минимальный члены ряда;
3. Найти размах вариации и количество оптимальных промежутков для построения интервального ряда. Найти длину промежутка интервального ряда;
4. Построить интервальный ряд. Найти частоты попадания элементов выборки в составленные промежутки. Найти средние точки каждого промежутка;
5. Построить гистограмму и полигон частот. Сравнить с нормальным распределением (аналитически и графически);
6. Построить график эмпирической функции распределения;
7. Рассчитать выборочные числовые характеристики: выборочное среднее и центральный выборочный момент;
8. Рассчитать приближенные значения среднего квадратического отклонения, асимметрии и эксцесса (пользуясь пакетом анализа MS Excel). Сравнить приближенные расчетные значения с точными (рассчитанные по формулам MS Excel);
9. Сравнить выборочные графические характеристики с соответствующими теоретическими.

Скачать решение

Имеются следующие выборочные данные (выборка 10%-ная, механическая) о выпуске продукции и сумме прибыли, млн. руб. По исходным данным:
Задание 13.1.
13.1.1. Постройте статистический ряд распределения предприятий по сумме прибыли, образовав пять групп с равными интервалами. Постройте графики ряда распределения.
13.1.2. Рассчитайте числовые характеристики ряда распределения предприятий по сумме прибыли: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации V. Сделайте выводы.
Задание 13.2.
13.2.1. Определите границы, в которых с вероятностью 0.997 заключена сумма прибыли одного предприятия в генеральной совокупности.
13.2.2. Используя x2-критерий Пирсона , при уровне значимости α проверить гипотезу о том, что случайная величина X – сумма прибыли – распределена по нормальному закону.
Задание 13.3.
13.3.1. Определите коэффициенты выборочного уравнения регрессии.
13.3.2. Установите наличие и характер корреляционной связи между стоимостью произведённой продукции (X) и суммой прибыли на одно предприятие (Y). Постройте диаграмму рассеяния и линию регрессии.
13.3.3. Рассчитайте линейный коэффициент корреляции. Используя t-критерий Стьюдента, проверьте значимость коэффициента корреляции. Сделайте вывод о тесноте связи между факторами X и Y, используя шкалу Чеддока .
Методические рекомендации . Задание 13.3 выполняется с помощью этого сервиса .
Скачать решение

Задача . Следующие данные представляют собой затраты времени клиентов на заключение договоров. Построить интервальный вариационный ряд представленных данных, гистограмму, найти несмещенную оценку математического ожидания, смещенную и несмещенную оценку дисперсии.

Пример . По данным таблицы 2:
1) Постройте ряды распределения по 40 коммерческим банкам РФ:
А) по величине прибыли;
Б) по величине кредитных вложений.
2) По полученным рядам распределения определите:
А) прибыль в среднем на один коммерческий банк;
Б) кредитные вложения в среднем на один коммерческий банк;
В) модальное и медианное значение прибыли; квартили, децили;
Г) модальное и медианное значение кредитных вложений.
3) По полученным в п. 1 рядам распределения рассчитайте:
а) размах вариации;
б) среднее линейное отклонение;
в) среднее квадратическое отклонение;
г) коэффициент вариации.
Необходимые расчеты оформите в табличной форме. Результаты проанализируйте. Сделайте выводы.
Постройте графики полученных рядов распределения. Графически определите моду и медиану.

Решение:
Для построения группировка с равными интервалами воспользуемся сервисом Группировка статистических данных .

Рисунок 1 – Ввод параметров

Описание параметров
Количество строк : количество исходных данных. Если размерность ряда небольшая, укажите его количество. Если выборка достаточно объемная, то нажмите кнопку Вставить из Excel .
Количество групп : 0 – число групп будет определяться по формуле Стэрджесса.
Если задано конкретное число групп, укажите его (например, 5).
Вид ряда : Дискретный ряд.
Уровень значимости : например, 0.954 . Этот параметр задается для определения доверительного интервала среднего значения.
Выборка : Например, проведена 10% -ная механическая выборка. Указываем число 10 . Для наших данных указываем 100 .

• Вводный урок бесплатно ;
• Большое число опытных преподавателей (нейтивов и русскоязычных);
• Курсы НЕ на определенный срок (месяц, полгода, год), а на конкретное количество занятий (5, 10, 20, 50);
• Более 10 000 довольных клиентов.
• Стоимость одного занятия с русскоязычным преподавателем - от 600 рублей , с носителем языка - от 1500 рублей

Понятие вариационного ряда. Первым шагом систематизации материалов статистического наблюдения является подсчет числа единиц, обладающих тем или иным признаком. Расположив единицы в порядке возрастания или убывания их количественного признака и подсчитав число единиц с конкретным значением признака, получаем вариационный ряд. Вариационный ряд характеризует распределение единиц определенной статистической совокупности по какому–либо количественному признаку.

Вариационный ряд представляет собой две колонки, в левой колонке приводятся значения варьирующего признака, именуемые вариантами и обозначаемые (x), а в правой – абсолютные числа, показывающие, сколько раз встречается каждый вариант. Показатели этой колонки называются частотами и обозначаются (f).

Схематично вариационный ряд можно представить в виде табл.5.1:

Таблица 5.1

Вид вариационного ряда

Варианты (x)	Частоты (f)

В правой колонке могут использоваться и относительные показатели, характеризующие долю частоты отдельных вариантов в общей сумме частот. Эти относительные показатели именуют частостями и условно обозначают через , т.е. . Сумма всех частостей равна единице. Частости могут быть выражены и в процентах, и тогда их сумма будет равна 100%.

Варьирующие признаки могут носить разный характер. Варианты одних признаков выражаются в целых числах, например, число комнат в квартире, число изданных книг и т.д. Эти признаки именуют прерывными, или дискретными. Варианты других признаков могут принимать любые значения в определенных пределах, как, например, выполнение плановых заданий, заработная плата и др. Эти признаки называют непрерывными.

Дискретный вариационный ряд. Если варианты вариационного ряда выражены в виде дискретных величин, то такой вариационный ряд называют дискретным, его внешний вид представлен в табл. 5.2:

Таблица 5.2

Распределение студентов по оценкам, полученным на экзамене

Оценки (х)	Количество студентов (f)	В % к итогу ()

Характер распределения в дискретных рядах изображается графически в виде полигона распределения, рис.5.1.

Рис. 5.1. Распределение студентов по оценкам, полученным на экзамене.

Интервальный вариационный ряд. Для непрерывных признаков вариационные ряды строятся интервальные, т.е. значения признака в них выражаются в виде интервалов «от и до». При этом минимальное значение признака в таком интервале именуют нижней границей интервала, а максимальное – верхней границей интервала.

Интервальные вариационные ряды строят как для прерывных признаков (дискретных), так и для варьирующих в большом диапазоне. Интервальные ряды могут быть с равными и неравными интервалами. В экономической практике в большинстве своем применяются неравные интервалы, прогрессивно возрастающие или убывающие. Такая необходимость возникает особенно в тех случаях, когда колеблемость признака осуществляется неравномерно и в больших пределах.

Рассмотрим вид интервального ряда с равными интервалами, табл. 5.3:

Таблица 5.3

Распределение рабочих по выработке

Выработка, т.р. (х)	Число рабочих (f)	Кумулятивная частота (f´)

Интервальный ряд распределения графически изображается в виде гистограммы, рис.5.2.

Рис.5.2. Распределение рабочих по выработке

Накопленная (кумулятивная) частота. В практике возникает потребность в преобразовании рядов распределения в кумулятивные ряды, строящиеся по накопленным частотам. С их помощью можно определить структурные средние, которые облегчают анализ данных ряда распределения.

Накопленные частоты определяются путем последовательного прибавления к частотам (или частостям) первой группы этих показателей последующих групп ряда распределения. Для иллюстрации рядов распределения используются кумуляты и огивы. Для их построения на оси абсцисс отмечаются значения дискретного признака (или концы интервалов), а на оси ординат – нарастающие итоги частот (кумулята), рис.5.3.

Рис. 5.3. Кумулята распределения рабочих по выработке

Если шкалы частот и вариантов поменять местами, т.е. на оси абсцисс отражать накопленные частоты, а на оси ординат – значения вариантов, то кривая, характеризующая изменение частот от группы к группе, будет носит название огивы распределения, рис.5.4.

Рис. 5.4. Огива распределения рабочих по выработке

Вариационные ряды с равными интервалами обеспечивают одно из важнейших требований, предъявляемых к статистическим рядам распределения, обеспечение сравнимости их во времени и пространстве.

Плотность распределения. Однако частоты отдельных неравных интервалов в названных рядах непосредственно не сопоставимы. В подобных случаях для обеспечения необходимой сравнимости исчисляют плотность распределения, т.е. определяют, сколько единиц в каждой группе приходится на единицу величины интервала.

При построении графика распределения вариационного ряда с неравными интервалами высоту прямоугольников определяют пропорционально не частотам, а показателям плотности распределения значений изучаемого признака в соответствующих интервалах.

Составление вариационного ряда и его графическое изображение является первым шагом обработки исходных данных и первой ступенью анализа изучаемой совокупности. Следующим шагом в анализе вариационных рядов является определение основных обобщающих показателей, именуемых характеристиками ряда. Эти характеристики должны дать представление о среднем значении признака у единиц совокупности.

Средняя величина . Средняя величина представляет собой обобщенную характеристику изучаемого признака в исследуемой совокупности, отражающая ее типический уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Средняя величина всегда именованная, имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности.

Перед вычислением средних величин необходимо произвести группировку единиц исследуемой совокупности, выделив качественно однородные группы.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом называется общей средней, а для каждой группы – групповыми средними.

Существуют две разновидности средних величин: степенные (средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая); структурные (мода, медиана, квартили, децили).

Выбор средней для расчета зависит от цели.

Виды степенных средних и методы их расчета. В практике статистической обработки собранного материала возникают различные задачи, для решения которых требуются различные средние.

Математическая статистика выводит различные средние из формул степенной средней:

где средняя величина; x – отдельные варианты (значения признаков); z – показатель степени (при z = 1 – средняя арифметическая, z = 0 средняя геометрическая, z = - 1 – средняя гармоническая, z = 2 – средняя квадратическая).

Однако вопрос о том, какой вид средней необходимо применить в каждом отдельном случае, разрешается путем конкретного анализа изучаемой совокупности.

Наиболее часто встречающимся в статистике видом средних величин является средняя арифметическая . Она исчисляется в тех случаях, когда объем осредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности.

В зависимости от характера исходных данных средняя арифметическая определяется различными способами:

Если данные несгруппированные, то расчет ведется по формуле простой средней величины

Расчет средней арифметической в дискретном ряду происходит по формуле 3.4.

Расчет средней арифметической в интервальном ряду. В интервальном вариационном ряду, где за величину признака в каждой группе условно принимается середина интервала, средняя арифметическая может отличаться от средней, рассчитанной по несгруппированным данным. Причем, чем больше величина интервала в группах, тем больше возможные отклонения средней, вычисленной по сгруппированным данным, от средней, рассчитанной по несгруппированным данным.

При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам. А затем рассчитывают среднюю величину по формуле средней арифметической взвешенной.

Свойства средней арифметической. Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами, которые позволяют упрощать вычисления, рассмотрим их.

1. Средняя арифметическая из постоянных чисел равна этому постоянному числу.

Если х = а. Тогда .

2. Если веса всех вариантов пропорционально изменить, т.е. увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая нового ряда от этого не изменится.

Если все веса f уменьшить в k раз, то .

3. Сумма положительных и отрицательных отклонений отдельных вариантов от средней, умноженных на веса, равна нулю, т.е.

Если , то . Отсюда .

Если все варианты уменьшить или увеличить на какое- либо число, то средняя арифметическая нового ряда уменьшится или увеличится на столько же.

Уменьшим все варианты x на a , т.е. x ´ = x – a.

Тогда

Среднюю арифметическую первоначального ряда можно получить, прибавляя к уменьшенной средней ранее вычтенное из вариантов числа a , т.е. .

5. Если все варианты уменьшить или увеличить в k раз, то средняя арифметическая нового ряда уменьшится или увеличится во столько же, т.е. в k раз.

Пусть , тогда .

Отсюда , т.е. для получения средней первоначального ряда среднюю арифметическую нового ряда (с уменьшенными вариантами) надо увеличить в k раз.

Средняя гармоническая. Средняя гармоническая это величина обратная средней арифметической. Ее используют, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение (М= xf). Средняя гармоническая будет рассчитываться по формуле 3.5

Практическое применение средней гармонической – для расчета некоторых индексов, в частности, индекса цен.

Средняя геометрическая. При применении средней геометрической индивидуальные значения признака представляют собой, как правило, относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение к предыдущему уровню каждого уровня в ряду динамики. Средняя характеризует, таким образом, средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая величина используется также для определения равноудаленной величины от максимального и минимального значений признака. Например, страховая компания заключает договоры на оказание услуг автострахования. В зависимости конкретного страхового случая страховая выплата может колебаться от 10000 до 100000 долл. в год. Средняя сумма выплат по страховке составит долл.

Средняя геометрическая это величина, используемая как средняя из отношений или в рядах распределения, представленных в виде геометрической прогрессии, когда z = 0. Этой средней удобно пользоваться, когда уделяется внимание не абсолютным разностям, а отношениям двух чисел.

Формулы для расчета следующие

где – варианты осредняемого признака; – произведение вариантов; f – частота вариантов.

Средняя геометрическая используется в расчетах среднегодовых темпов роста.

Средняя квадратическая. Формула средней квадратической используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения. Так, при расчете показателей вариации среднюю вычисляют из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической величины.

Средняя квадратическая величина рассчитывается по формуле

В экономических исследованиях средняя квадратическая в измененном виде широко используется при расчете показателей вариации признака, таких как дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Правило мажорантности. Между степенными средними существует следующая зависимость – чем больше показатель степени, тем больше значение средней, табл.5.4:

Таблица 5.4

Соотношение между средними величинами

Значение z
Соотношение между средними

Это соотношение называется правилом мажорантности.

Структурные средние величины. Для характеристики структуры совокупности применяются особые показатели, которые можно назвать структурными средними. К таким показателям относятся мода, медиана, квартили и децили.

Мода. Модой (Мо) называется наиболее часто встречающееся значение признака у единиц совокупности. Модой называется то значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределения.

Мода широко используется в коммерческой практике при изучении покупательского спроса (при определении размеров одежды и обуви, которые пользуются широким спросом), регистрации цен. Мод в совокупности может быть несколько.

Расчет моды в дискретном ряду. В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой. Рассмотрим нахождение моды в дискретном ряду.

Расчет моды в интервальном ряду. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считают центральный вариант модального интервала, т.е. того интервала, который имеет наибольшую частоту (частость). В пределах интервала надо найти то значение признака, которое является модой. Для интервального ряда мода будет определяться формулой

где – нижняя граница модального интервала; – величина модального интервала; – частота, соответствующая модальному интервалу; – частота, предшествующая модальному интервалу; – частота интервала, следующего за модальным.

Медиана. Медианой () называется значение признака у средней единицы ранжированного ряда. Ранжированный ряд – это ряд, у которого значения признака записаны в порядке возрастания или убывания. Или медиана это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значение варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая – большие.

Чтобы найти медиану, сначала определяется ее порядковый номер. Для этого при нечетном числе единиц к сумме всех частот прибавляется единица и все делится на два. При четном числе единиц медиана отыскивается как значение признака у единицы, порядковый номер который определяется по общей сумме частот, деленной на два. Зная порядковый номер медианы, легко по накопленным частотам найти ее значение.

Расчет медианы в дискретном ряду. По данным выборочного обследования получены данные о распределении семей по числу детей, табл. 5.5. Для определения медианы сначала определим ее порядковый номер

=

Затем построим ряд накопленных частот (, по порядковому номеру и накопленной частоте найдем медиану. Накопленная частота 33 показывает, что в 33 семьях количество детей не превышает 1 ребенка, но так как номермедианы 50, то медиана будет находится в промежутке с 34 по 55 семью.

Таблица 5.5

Распределение числа семей от количества детей

Число детей в семье

Количество семей, –величина медианного интервала; Все рассмотренные формы степенной средней обладают важным свойством (в отличие от структурных средних) – в формулу определения средней входят все значения ряда т.е. на размеры средней оказывают влияние значение каждого варианта. С одной стороны, это весьма положительное свойство т.к. в этом случае учитывается действие всех причин, воздействующих на все единицы изучаемой совокупности. С другой стороны, даже одно наблюдение, попавшее в исходные данные случайно, может существенным образом исказить представление об уровне развития изучаемого признака в рассматриваемой совокупности (особенно в коротких рядах). Квартили и децили. По аналогии с нахождением медианы в вариационных рядах можно отыскать значение признака у любой по порядку единицы ранжированного ряда. Так, в частности, можно найти значение признака у единиц, делящих ряд на 4 равные части, на 10 и т.п. Квартили. Варианты, которые делят ранжированный ряд на четыре равные части, называют квартилями. При этом различают: нижний (или первый) квартиль (Q1) – значение признака у единицы ранжированного ряда, делящей совокупность в соотношении ¼ к ¾ и верхний (или третий) квартиль(Q3) – значение признака у единицы ранжированного ряда, делящий совокупность в соотношении ¾ к ¼. Второй квартиль, есть медиана Q2 = Ме. Нижний и верхний квартили в интервальном ряду рассчитываются по формуле аналогично медиане. где – нижняя граница интервала, содержащего соответственно нижний и верхний квартиль; – накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний или верхний квартиль; – частоты квартильных интервалов (нижнего и верхнего) Интервалы, в которых содержатся Q1 и Q3 определяют по накопленным частотам (или частостям). Децили. Кроме квартилей рассчитывают децили – варианты, делящие ранжированный ряд на 10 равных частей. Обозначаются они через D, первый дециль D1 делит ряд в соотношении 1/10 и 9/10, второй D2 – 2/10 и 8/10 и т.д. Вычисляются они по той же схеме, что и медиана и квартили. И медиана, и квартили, и децили принадлежат к так называемым порядковым статистикам, под которым понимают вариант, занимающий определенное порядковое место в ранжированном ряду.