Pidev kahemõõtmeline juhuslik suurus. Juhuslike suuruste süsteemid
Üsna sageli tuleb juhuslikke muutujaid uurides tegeleda kahe, kolme või isegi enama juhusliku suurusega. Näiteks kahemõõtmeline juhuslik suurus $\left(X,\Y\right)$ kirjeldab mürsu löögipunkti, kus juhuslikud suurused $X,\Y$ on vastavalt abstsiss ja ordinaat. Juhuslikult valitud õpilase sooritust seansi ajal iseloomustab $n$-mõõtmeline juhuslik suurus $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$, kus juhuslikud suurused on $X_1,\ X_2,\ \punktid ,\ X_n $ on erinevate erialade hinneteraamatusse kantud hinded.
Nimetatakse $n$ juhuslike muutujate komplekt $\left(X_1,\ X_2,\ \dots ,\ X_n\right)$ juhuslik vektor. Piirdume vaid käände $\left(X,\ Y\right)$ kaalumisega.
Olgu $X$ diskreetne juhuslik suurus võimalike väärtustega $x_1,x_2,\ \dots ,\ x_n$ ja $Y$ diskreetne juhuslik suurus võimalike väärtustega $y_1,y_2,\ \dots , \ y_n$.
Siis võib diskreetne kahemõõtmeline juhuslik suurus $\left(X,\Y\right)$ võtta väärtused $\left(x_i,\y_j\right)$ tõenäosustega $p_(ij)=P\left(\ vasak(X=x_i \right)\left(Y=y_j\right)\right)=P\left(X=x_i\right)P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$. Siin on $P\left(Y=y_j|X=x_i\right)$ tingimuslik tõenäosus, et juhuslik muutuja $Y$ saab väärtuse $y_j$, eeldusel, et juhuslik muutuja $X$ saab väärtuse $x_i$ .
Tõenäosus, et juhuslik muutuja $X$ saab väärtuse $x_i$, on võrdne $p_i=\sum_j(p_(ij))$. Tõenäosus, et juhuslik muutuja $Y$ saab väärtuse $y_j$, on võrdne $q_j=\sum_i(p_(ij))$.
$$P\left(X=x_i|Y=y_j\right)=((P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right))\over (P\ vasak(Y=y_j\right)))=((p_(ij))\üle (q_j)).$$
$$P\left(Y=y_j|X=x_i\right)=((P\left(\left(X=x_i\right)\left(Y=y_j\right)\right))\over (P\ vasak(X=x_i\right)))=((p_(ij))\üle (p_i)).$$
Näide 1 . Kahemõõtmelisuse jaotus juhuslik muutuja:
$\begin(massiiv)(|c|c|)
\hline
X\kaldkriips Y ja 2 ja 3 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end(massiiv)$
Defineerime juhuslike suuruste $X$ ja $Y$ jaotuse seadused. Leiame juhusliku suuruse $X$ tingimuslikud jaotused tingimusel $Y=2$ ja juhusliku suuruse $Y$ tingimusel $X=0$.
Täidame järgmise tabeli:
$\begin(massiiv)(|c|c|)
\hline
X\kaldkriips Y & 2 & 3 & p_i & p_(ij)/q_1 \\
\hline
-1 & 0,15 & 0,25 & 0,4 & 0,29 \\
\hline
0 & 0,28 & 0,13 & 0,41 & 0,54 \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 & 0,19 & 0,17 \\
\hline
q_j & 0,52 & 0,48 & 1 & \\
\hline
p_(ij)/p_2 & 0,68 & 0,32 & & \\
\hline
1 & 0,09 & 0,1 \\
\hline
\end(massiiv)$
Selgitame, kuidas tabelit täidetakse. Esimese nelja rea kolme esimese veeru väärtused võetakse tingimusest. Rea $2$th ($3$th) veergudes $2$th ja $3$th olevate arvude summa on näidatud rea $2$th ($3$th) veerus $4$th. Näitame $4$. rea veergudes $2$ ja $3$ olevate arvude summa $4$. rea veerus $4$.
Kirjutame veeru $2$th ($3$th) ridadele $2$th, $3$th ja $4$th olevate arvude summa veeru $2$th ($3$th) reale $5$. Jagame iga numbri $2$-ndas veerus $q_1=0,52$-ga, ümardame tulemuse kahe kümnendkohani ja kirjutame selle $5$-ndasse veergu. Jagame $3$-nda rea $2$-nda ja $3$-nda veergude arvud väärtusega $p_2=0,41$, ümardame tulemuse kahe kümnendkohani ja kirjutame viimasele reale.
Siis on juhusliku suuruse $X$ jaotusseadus järgmisel kujul.
$\begin(massiiv)(|c|c|)
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,41 ja 0,19 \\
\hline
\end(massiiv)$
Juhusliku suuruse $Y$ jaotusseadus.
$\begin(massiiv)(|c|c|)
\hline
Y&2&3\\
\hline
q_j & 0,52 ja 0,48 \\
\hline
\end(massiiv)$
Juhusliku muutuja $X$ tingimuslikul jaotusel tingimusel $Y=2$ on järgmine vorm.
$\begin(massiiv)(|c|c|)
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
p_(ij)/q_1 & 0,29 & 0,54 & 0,17 \\
\hline
\end(massiiv)$
Juhusliku muutuja $Y$ tingimuslikul jaotusel tingimusel $X=0$ on järgmine vorm.
$\begin(massiiv)(|c|c|)
\hline
Y&2&3\\
\hline
p_(ij)/p_2 & 0,68 & 0,32 \\
\hline
\end(massiiv)$
Näide 2 . Meil on kuus pliiatsit, sealhulgas kaks punast. Panime pliiatsid kahte karpi. Esimene sisaldab $2$ tükki ja teine sisaldab samuti kahte. $X$ on punaste pliiatsite arv esimeses kastis ja $Y$ teises kastis. Kirjutage jaotusseadus juhuslike muutujate süsteemile $(X,\ Y)$.
Olgu diskreetne juhuslik suurus $X$ punaste pliiatsite arv esimeses kastis ja diskreetne juhuslik suurus $Y$ punaste pliiatsite arv teises kastis. Juhuslike muutujate $X,\ Y$ võimalikud väärtused on vastavalt $X:0,\ 1,\ 2$, $Y:0,\ 1,\ 2$. Siis võib diskreetne kahemõõtmeline juhuslik muutuja $\left(X,\Y\right)$ võtta väärtused $\left(x,\y\right)$ tõenäosustega $P=P\left(\left(X =x\right) \times \left(Y=y\right)\right)=P\left(X=x\right)\times P\left(Y=y|X=x\right)$, kus $ P\left(Y =y|X=x\right)$ on tingimuslik tõenäosus, et juhusliku muutuja $Y$ väärtus on $y$, eeldusel, et juhusliku muutuja $X$ väärtus on $x$. Esitagem vastavust väärtuste $\left(x,\y\right)$ ja tõenäosuste $P\left(\left(X=x\right)\times \left(Y=y\right) vahel \right)$ järgmiste tabelite kujul.
$\begin(massiiv)(|c|c|)
\hline
X\kaldkriips Y ja 0 & 1 ja 2 \\
\hline
0 & ((1)\üle (15)) & ((4)\üle (15)) & ((1)\üle (15)) \\
\hline
1 & ((4)\üle (15)) & ((4)\üle (15)) & 0 \\
\hline
2 & ((1)\üle (15)) & 0 & 0 \\
\hline
\end(massiiv)$
Sellise tabeli read näitavad $X$ väärtusi ja veerud $Y$ väärtusi, seejärel tõenäosusi $P\left(\left(X=x\right)\times \left( Y=y\right)\right)$ on näidatud vastava rea ja veeru ristumiskohas. Arvutame tõenäosusi kasutades klassikalist tõenäosuse definitsiooni ja sõltuvate sündmuste tõenäosuste korrutise teoreemi.
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_4)\üle (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \üle (C^2_4))=((6)\üle (15))\cdot ((1)\üle (6))=((1)\üle (15));$$
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=1\right)\right)=((C^2_4)\üle (C^2_6))\cdot ((C^1_2\ cdot C^1_2)\üle (C^2_4))=((6)\üle (15))\cdot ((2\cdot 2)\üle (6))=((4)\üle (15)) ;$$
$$P\left(\left(X=0\right)\left(Y=2\right)\right)=((C^2_4)\üle (C^2_6))\cdot ((C^2_2) \üle (C^2_4))=((6)\üle (15))\cdot ((1)\üle (6))=((1)\üle (15));$$
$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\over (C^2_6))\cdot ( (C^2_3)\üle (C^2_4))=((2\cpunkt 4)\üle (15))\cpunkt ((3)\üle (6))=((4)\üle (15)) ;$$
$$P\left(\left(X=1\right)\left(Y=1\right)\right)=((C^1_2\cdot C^1_4)\over (C^2_6))\cdot ( (C^1_1\cdot C^1_3)\üle (C^2_4))=((2\cpunkt 4)\üle (15))\cdot ((1\cpunkt 3)\üle (6))=(( 4)\over (15));$$
$$P\left(\left(X=2\right)\left(Y=0\right)\right)=((C^2_2)\üle (C^2_6))\cdot ((C^2_4) \üle (C^2_4))=((1)\üle (15))\cdot 1=((1)\üle (15)).$$
Kuna jaotusseaduses (saadud tabelis) moodustab kogu sündmuste kogum tervikliku sündmuste rühma, peab tõenäosuste summa olema võrdne 1-ga. Kontrollime seda:
$$\summa_(i,\j)(p_(ij))=((1)\üle (15))+((4)\üle (15))+((1)\üle (15))+ ((4)\üle (15))+((4)\üle (15))+((1)\üle (15))=1.$$
Kahemõõtmelise juhusliku suuruse jaotusfunktsioon
Jaotusfunktsioon Kahemõõtmelise juhusliku muutuja $\left(X,\Y\right)$ nimetatakse funktsiooniks $F\left(x,\y\right)$, mis mis tahes reaalarvude $x$ ja $y$ korral on võrdub kahe sündmuse ühise esinemise tõenäosusega $ \left\(X< x\right\}$ и $\left\{Y < y\right\}$. Таким образом, по определению
$$F\left(x,\y\right)=P\left\(X< x,\ Y < y\right\}.$$
Diskreetse kahemõõtmelise juhusliku suuruse korral leitakse jaotusfunktsioon kõigi tõenäosuste $p_(ij)$ liitmisel, mille korral $x_i< x,\ y_j < y$, то есть
$$F\left(x,\y\right)=\sum_(x_i< x}{\sum_{y_j < y}{p_{ij}}}.$$
Kahemõõtmelise juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni omadused.
1 . Jaotusfunktsioon $F\left(x,\y\right)$ on piiratud, see tähendab $0\le F\left(x,\ y\right)\le 1$.
2 . $F\left(x,\y\right)$ ei kahane iga selle argumendi puhul, kui teised on fikseeritud, st $F\left(x_2,\y\right)\ge F\left(x_1, \ y\right )$ $x_2>x_1$ jaoks, $F\left(x,\ y_2\right)\ge F\left(x,\ y_1\right)$ $y_2>y_1$ jaoks.
3 . Kui vähemalt üks argumentidest võtab väärtuse $-\infty $, on jaotusfunktsioon võrdne nulliga, see tähendab $F\left(-\infty ,\ y\right)=F\left(x, \ -\infty \right ),\ F\left(-\infty ,\ -\infty \right)=0$.
4 . Kui mõlemad argumendid võtavad väärtuse $+\infty $, võrdub jaotusfunktsioon $1$, st $F\left(+\infty ,\ +\infty \right)=1$.
5 . Juhul kui täpselt üks argumentidest võtab väärtuse $+\infty $, saab jaotusfunktsioon $F\left(x,\y\right)$ teisele elemendile vastava juhusliku muutuja jaotusfunktsiooniks, st. , $F\left(x ,\ +\infty \right)=F_1\left(x\right)=F_X\left(x\right),\ F\left(+\infty ,\ y\right)=F_y \left(y\right) =F_Y\left(y\right)$.
6 . $F\left(x,\y\right)$ jäetakse iga argumendi jaoks pidevaks, st
$$(\mathop(lim)_(x\to x_0-0) F\left(x,\y\right)\ )=F\left(x_0,\y\right),\ (\mathop(lim) _(y\to y_0-0) F\left(x,\y\right)\ )=F\left(x,\y_0\right).$$
Näide 3 . Olgu diskreetne kahemõõtmeline juhuslik suurus $\left(X,\ Y\right)$ antud jaotusrea abil.
$\begin(massiiv)(|c|c|)
\hline
X\kaldkriips Y&0&1\\
\hline
0 & ((1)\üle (6)) & ((2)\üle (6)) \\
\hline
1 & ((2)\üle (6)) & ((1)\üle (6)) \\
\hline
\end(massiiv)$
Seejärel jaotusfunktsioon:
$F(x,y)=\left\(\begin(maatriks)
0,\ at\ x\le 0,\ y\le 0\\
0,\ at\ x\le 0,\ 0< y\le 1 \\
0,\ at\ x\le 0,\ y>1\\
0,\at\0< x\le 1,\ y\le 0 \\
((1)\üle (6)),\at\0< x\le 1,\ 0 < y\le 1 \\
((1)\üle (6))+((2)\üle (6))=((1)\üle (2)),\at\0< x\le 1,\ y>1 \\
0,\ for\ x>1,\ y\le 0\\
((1)\üle (6))+((2)\üle (6))=((1)\üle (2)),\ at\ x>1,\ 0< y\le 1 \\
((1)\üle (6))+((2)\üle (6))+((2)\üle (6))+((1)\üle (6))=1,\ at\ x >1,\ y>1 \\
\end(maatriks)\right.$
Juhuslike suuruste X ja Y järjestatud paari (X, Y) nimetatakse kahemõõtmeliseks juhuslikuks muutujaks ehk juhusliku vektoriks kahemõõtmelises ruumis. Kahemõõtmelist juhuslikku suurust (X,Y) nimetatakse ka juhuslike suuruste X ja Y süsteemiks. Diskreetse juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste kogumit koos nende tõenäosustega nimetatakse selle juhusliku suuruse jaotusseaduseks. Diskreetne kahemõõtmeline juhuslik suurus (X, Y) loetakse antud, kui selle jaotusseadus on teada:
P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m
Teenuse eesmärk. Teenust kasutades leiate vastavalt antud levitamisseadusele:
- jaotusread X ja Y, matemaatiline ootus M[X], M[Y], dispersioon D[X], D[Y];
- kovariatsioon cov(x,y), korrelatsioonikordaja r x,y, tingimuslik jaotusrida X, tingimuslik ootus M;
Juhised. Määrake tõenäosusjaotuse maatriksi dimensioon (ridade ja veergude arv) ja selle tüüp. Saadud lahendus salvestatakse Wordi faili.
Näide nr 1. Kahemõõtmelisel diskreetsel juhuslikul muutujal on jaotustabel:
| Y/X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 10 | 0 | 0,11 | 0,12 | 0,03 |
| 20 | 0 | 0,13 | 0,09 | 0,02 |
| 30 | 0,02 | 0,11 | 0,08 | 0,01 |
| 40 | 0,03 | 0,11 | 0,05 | q |
Lahendus. Leiame q väärtuse tingimusest Σp ij = 1
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0,91+q = 1. Kust tuleb q = 0,09?
Kasutades valemit ∑P(x i,y j) = lk i(j=1..n), leiame jaotusrea X.
M[y] = 1 * 0,05 + 2 * 0,46 + 3 * 0,34 + 4 * 0,15 = 2,59
Dispersioon D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
Standardhälveσ(y) = ruut(D[Y]) = ruut(0,64) = 0,801
Kovariatsioon cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0,11 + 3 10 0,12 + 4 10 0,03 + 2 20 0,13 + 3 20 0,09 + 4 · 20 · 0,02 + 1,30 · 0,02 + 2 · 30 · 0,11 + 3 · 30 · 0,08 + 4 · 30 · 0,01 + 1 · 40 · 0,03 + 2 · 40 · 0,11 + 3 · 40 · 0,05 + 4 · 40 · 0,09 - 25,2 · 2,59 = -0,068
Korrelatsioonikordaja r xy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0,068/(11,531*0,801) = -0,00736
Näide 2. Kahe näitaja X ja Y teabe statistilise töötlemise andmed kajastuvad korrelatsioonitabelis. Nõutud:
- kirjutada jaotusread X ja Y jaoks ning arvutada nende valimi keskmised ja valimi standardhälbed;
- kirjutada tingimusliku jaotuse seeria Y/x ja arvutada tingimuslikud keskmised Y/x;
- graafiliselt kujutada tingimuslike keskmiste Y/x sõltuvust X väärtustest;
- arvutada valimi korrelatsioonikordaja Y kohta X;
- kirjutada näidis edasisuunas regressioonivõrrand;
- kujutada geomeetriliselt korrelatsioonitabeli andmeid ja konstrueerida regressioonisirge.
Diskreetse juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste kogumit koos nende tõenäosustega nimetatakse selle juhusliku suuruse jaotusseaduseks.
Diskreetne kahemõõtmeline juhuslik suurus (X,Y) loetakse antud, kui selle jaotusseadus on teada:
P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2..,m
| X/Y | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| 11 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 16 | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| 21 | 0 | 3 | 6 | 2 | 0 |
| 26 | 0 | 0 | 45 | 8 | 4 |
| 31 | 0 | 0 | 4 | 6 | 7 |
| 36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 |
1. Juhuslike suuruste X ja Y sõltuvus.
Leidke jaotusseeriad X ja Y.
Kasutades valemit ∑P(x i,y j) = lk i(j=1..n), leiame jaotusrea X. Ootus M[Y].
M[a] = (20 * 6 + 30 * 9 + 40 * 55 + 50 * 16 + 60 * 14) / 100 = 42,3
Dispersioon D[Y].
D[Y] = (20 2 * 6 + 30 2 * 9 + 40 2 * 55 + 50 2 * 16 + 60 2 * 14) / 100 - 42,3 2 = 99,71
Standardhälve σ(y).
Kuna P(X=11,Y=20) = 2≠2 6, siis juhuslikud suurused X ja Y sõltuv.
2. Tingimuslik jaotusseadus X.
Tingimuslik jaotusseadus X(Y=20).
P(X = 11/Y = 20) = 2/6 = 0,33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0,67
P(X = 21/Y = 20) = 0/6 = 0
P(X = 26/Y = 20) = 0/6 = 0
P(X = 31/Y = 20) = 0/6 = 0
P(X = 36/Y = 20) = 0/6 = 0
Tingimuslik matemaatiline ootus M = 11*0,33 + 16*0,67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14,33
Tingimuslik dispersioon D = 11 2 *0,33 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14,33 2 = 5,56
Tingimuslik jaotusseadus X(Y=30).
P(X = 11/Y = 30) = 0/9 = 0
P(X = 16/Y = 30) = 6/9 = 0,67
P(X = 21/Y = 30) = 3/9 = 0,33
P(X = 26/Y = 30) = 0/9 = 0
P(X = 31/Y = 30) = 0/9 = 0
P(X = 36/Y = 30) = 0/9 = 0
Tingimuslik matemaatiline ootus M = 11*0 + 16*0,67 + 21*0,33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17,67
Tingimuslik dispersioon D = 11 2 *0 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0,33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17,67 2 = 5,56
Tingimuslik jaotusseadus X(Y=40).
P(X = 11/Y = 40) = 0/55 = 0
P(X = 16/Y = 40) = 0/55 = 0
P(X = 21/Y = 40) = 6/55 = 0,11
P(X = 26/Y = 40) = 45/55 = 0,82
P(X = 31/Y = 40) = 4/55 = 0,0727
P(X = 36/Y = 40) = 0/55 = 0
Tingimuslik matemaatiline ootus M = 11*0 + 16*0 + 21*0,11 + 26*0,82 + 31*0,0727 + 36*0 = 25,82
Tingimuslik dispersioon D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,11 + 26 2 *0,82 + 31 2 *0,0727 + 36 2 *0 - 25,82 2 = 4,51
Tingimuslik jaotusseadus X(Y=50).
P(X = 11/Y = 50) = 0/16 = 0
P(X = 16/Y = 50) = 0/16 = 0
P(X = 21/Y = 50) = 2/16 = 0,13
P(X = 26/Y = 50) = 8/16 = 0,5
P(X = 31/Y = 50) = 6/16 = 0,38
P(X = 36/Y = 50) = 0/16 = 0
Tingimuslik matemaatiline ootus M = 11*0 + 16*0 + 21*0,13 + 26*0,5 + 31*0,38 + 36*0 = 27,25
Tingimuslik dispersioon D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,13 + 26 2 *0,5 + 31 2 *0,38 + 36 2 *0 - 27,25 2 = 10,94
Tingimuslik jaotusseadus X(Y=60).
P(X = 11/Y = 60) = 0/14 = 0
P(X = 16/Y = 60) = 0/14 = 0
P(X = 21/Y = 60) = 0/14 = 0
P(X = 26/Y = 60) = 4/14 = 0,29
P(X = 31/Y = 60) = 7/14 = 0,5
P(X = 36/Y = 60) = 3/14 = 0,21
Tingimuslik matemaatiline ootus M = 11 * 0 + 16 * 0 + 21 * 0 + 26 * 0,29 + 31 * 0,5 + 36 * 0,21 = 30,64
Tingimuslik dispersioon D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0,29 + 31 2 *0,5 + 36 2 *0,21 - 30,64 2 = 12,37
3. Tingimuslik jaotusseadus Y.
Tingimuslik jaotusseadus Y(X=11).
P(Y = 20/X = 11) = 2/2 = 1
P(Y = 30/X = 11) = 0/2 = 0
P(Y = 40/X = 11) = 0/2 = 0
P(Y = 50/X = 11) = 0/2 = 0
P(Y = 60/X = 11) = 0/2 = 0
Tingimuslik matemaatiline ootus M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Tingimuslik dispersioon D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Tingimuslik jaotusseadus Y(X=16).
P(Y = 20/X = 16) = 4/10 = 0,4
P(Y = 30/X = 16) = 6/10 = 0,6
P(Y = 40/X = 16) = 0/10 = 0
P(Y = 50/X = 16) = 0/10 = 0
P(Y = 60/X = 16) = 0/10 = 0
Tingimuslik matemaatiline ootus M = 20*0,4 + 30*0,6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Tingimuslik dispersioon D = 20 2 *0,4 + 30 2 *0,6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Tingimuslik jaotusseadus Y(X=21).
P(Y = 20/X = 21) = 0/11 = 0
P(Y = 30/X = 21) = 3/11 = 0,27
P(Y = 40/X = 21) = 6/11 = 0,55
P(Y = 50/X = 21) = 2/11 = 0,18
P(Y = 60/X = 21) = 0/11 = 0
Tingimuslik matemaatiline ootus M = 20*0 + 30*0,27 + 40*0,55 + 50*0,18 + 60*0 = 39,09
Tingimuslik dispersioon D = 20 2 *0 + 30 2 *0,27 + 40 2 *0,55 + 50 2 *0,18 + 60 2 *0 - 39,09 2 = 44,63
Tingimuslik jaotusseadus Y(X=26).
P(Y = 20/X = 26) = 0/57 = 0
P(Y = 30/X = 26) = 0/57 = 0
P(Y = 40/X = 26) = 45/57 = 0,79
P(Y = 50/X = 26) = 8/57 = 0,14
P(Y = 60/X = 26) = 4/57 = 0,0702
Tingimuslik matemaatiline ootus M = 20*0 + 30*0 + 40*0,79 + 50*0,14 + 60*0,0702 = 42,81
Tingimuslik dispersioon D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0,79 + 50 2 * 0,14 + 60 2 * 0,0702 - 42,81 2 = 34,23
Tingimuslik jaotusseadus Y(X=31).
P(Y = 20/X = 31) = 0/17 = 0
P(Y = 30/X = 31) = 0/17 = 0
P(Y = 40/X = 31) = 4/17 = 0,24
P(Y = 50/X = 31) = 6/17 = 0,35
P(Y = 60/X = 31) = 7/17 = 0,41
Tingimuslik matemaatiline ootus M = 20*0 + 30*0 + 40*0,24 + 50*0,35 + 60*0,41 = 51,76
Tingimuslik dispersioon D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,24 + 50 2 *0,35 + 60 2 *0,41 - 51,76 2 = 61,59
Tingimuslik jaotusseadus Y(X=36).
P(Y = 20/X = 36) = 0/3 = 0
P(Y = 30/X = 36) = 0/3 = 0
P(Y = 40/X = 36) = 0/3 = 0
P(Y = 50/X = 36) = 0/3 = 0
P(Y = 60/X = 36) = 3/3 = 1
Tingimuslik matemaatiline ootus M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Tingimuslik dispersioon D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 1 - 60 2 = 0
Kovariatsioon.
cov(X,Y) = M – M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 50 3 6 + 60 31 7 + 60 36 3) / 100 - 25,3 42,3 = 38,11
Kui juhuslikud suurused on sõltumatud, on nende kovariatsioon null. Meie puhul on cov(X,Y) ≠ 0.
Korrelatsioonikordaja.
Lineaarse regressiooni võrrand y-st x-ni on:
Lineaarse regressiooni võrrand x-st y-ni on:
Leiame vajalikud arvulised karakteristikud.
Näidise keskmised:
x = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3))/100 = 42,3
y = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3))/100 = 25,3
Erinevused:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42,3 2 = 99,71
σ 2 a = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3)/100 - 25,3 2 = 24,01
Kust saame standardhälbeid:
σ x = 9,99 ja σ y = 4,9
ja kovariatsioon:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 50 3 6 + 60 31 7 + 60 36 3) / 100 - 42,3 25,3 = 38,11
Määrame korrelatsioonikordaja:
Kirjutame üles regressioonisirgete y(x) võrrandid:
ja arvutades saame:
y x = 0,38 x + 9,14
Kirjutame üles regressioonisirgete x(y) võrrandid:
ja arvutades saame:
x y = 1,59 y + 2,15
Kui joonistada graafikule tabeli ja regressioonisirgetega määratud punktid, siis näeme, et mõlemad sirged läbivad koordinaatidega punkti (42,3; 25,3) ja punktid asuvad regressioonisirgete lähedal.
Korrelatsioonikordaja olulisus.
Kasutades Studenti tabelit olulisuse tasemega α=0,05 ja vabadusastmetega k=100-m-1 = 98, leiame t crit:
t crit (n-m-1; α/2) = (98; 0,025) = 1,984
kus m = 1 on selgitavate muutujate arv.
Kui t täheldatud > t kriitiline, siis loetakse saadud korrelatsioonikordaja väärtus oluliseks (nullhüpotees, mis väidab, et korrelatsioonikordaja on võrdne nulliga, lükatakse tagasi).
Kuna t obs > t crit, lükkame tagasi hüpoteesi, et korrelatsioonikordaja on 0. Teisisõnu, korrelatsioonikordaja on statistiliselt oluline.
Harjutus. Juhuslike muutujate X ja Y väärtuspaaride tabamuste arv vastavates intervallides on toodud tabelis. Neid andmeid kasutades leidke valimi korrelatsioonikordaja ja näidisvõrrandid sirgetest Y-st X-il ja X-il Y-l.
Lahendus
Näide. Kahemõõtmelise juhusliku suuruse (X, Y) tõenäosusjaotus on antud tabeli abil. Leia komponentsuuruste X, Y ja korrelatsioonikordaja p(X, Y) jaotuse seadused.
Laadige lahendus alla
Harjutus. Kahemõõtmeline diskreetne suurus (X, Y) on antud jaotusseadusega. Leia komponentide X ja Y jaotuse seadused, kovariatsioon ja korrelatsioonikordaja.
Juhuslike suuruste X ja Y järjestatud paari (X, Y) nimetatakse kahemõõtmeliseks juhuslikuks muutujaks ehk juhusliku vektoriks kahemõõtmelises ruumis. Kahemõõtmelist juhuslikku suurust (X,Y) nimetatakse ka juhuslike suuruste X ja Y süsteemiks. Diskreetse juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste kogumit koos nende tõenäosustega nimetatakse selle juhusliku suuruse jaotusseaduseks. Diskreetne kahemõõtmeline juhuslik suurus (X, Y) loetakse antud, kui selle jaotusseadus on teada:
P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m
Teenuse eesmärk. Teenust kasutades leiate vastavalt antud levitamisseadusele:
- jaotusread X ja Y, matemaatiline ootus M[X], M[Y], dispersioon D[X], D[Y];
- kovariatsioon cov(x,y), korrelatsioonikordaja r x,y, tingimuslik jaotusrida X, tingimuslik ootus M;
Juhised. Määrake tõenäosusjaotuse maatriksi dimensioon (ridade ja veergude arv) ja selle tüüp. Saadud lahendus salvestatakse Wordi faili.
Näide nr 1. Kahemõõtmelisel diskreetsel juhuslikul muutujal on jaotustabel:
| Y/X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 10 | 0 | 0,11 | 0,12 | 0,03 |
| 20 | 0 | 0,13 | 0,09 | 0,02 |
| 30 | 0,02 | 0,11 | 0,08 | 0,01 |
| 40 | 0,03 | 0,11 | 0,05 | q |
Lahendus. Leiame q väärtuse tingimusest Σp ij = 1
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0,91+q = 1. Kust tuleb q = 0,09?
Kasutades valemit ∑P(x i,y j) = lk i(j=1..n), leiame jaotusrea X.
M[y] = 1 * 0,05 + 2 * 0,46 + 3 * 0,34 + 4 * 0,15 = 2,59
Dispersioon D[Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
Standardhälveσ(y) = ruut(D[Y]) = ruut(0,64) = 0,801
Kovariatsioon cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0,11 + 3 10 0,12 + 4 10 0,03 + 2 20 0,13 + 3 20 0,09 + 4 · 20 · 0,02 + 1,30 · 0,02 + 2 · 30 · 0,11 + 3 · 30 · 0,08 + 4 · 30 · 0,01 + 1 · 40 · 0,03 + 2 · 40 · 0,11 + 3 · 40 · 0,05 + 4 · 40 · 0,09 - 25,2 · 2,59 = -0,068
Korrelatsioonikordaja r xy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0,068/(11,531*0,801) = -0,00736
Näide 2. Kahe näitaja X ja Y teabe statistilise töötlemise andmed kajastuvad korrelatsioonitabelis. Nõutud:
- kirjutada jaotusread X ja Y jaoks ning arvutada nende valimi keskmised ja valimi standardhälbed;
- kirjutada tingimusliku jaotuse seeria Y/x ja arvutada tingimuslikud keskmised Y/x;
- graafiliselt kujutada tingimuslike keskmiste Y/x sõltuvust X väärtustest;
- arvutada valimi korrelatsioonikordaja Y kohta X;
- kirjutada näidis edasisuunas regressioonivõrrand;
- kujutada geomeetriliselt korrelatsioonitabeli andmeid ja konstrueerida regressioonisirge.
Diskreetse juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste kogumit koos nende tõenäosustega nimetatakse selle juhusliku suuruse jaotusseaduseks.
Diskreetne kahemõõtmeline juhuslik suurus (X,Y) loetakse antud, kui selle jaotusseadus on teada:
P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2..,m
| X/Y | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| 11 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 16 | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| 21 | 0 | 3 | 6 | 2 | 0 |
| 26 | 0 | 0 | 45 | 8 | 4 |
| 31 | 0 | 0 | 4 | 6 | 7 |
| 36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 |
1. Juhuslike suuruste X ja Y sõltuvus.
Leidke jaotusseeriad X ja Y.
Kasutades valemit ∑P(x i,y j) = lk i(j=1..n), leiame jaotusrea X. Ootus M[Y].
M[a] = (20 * 6 + 30 * 9 + 40 * 55 + 50 * 16 + 60 * 14) / 100 = 42,3
Dispersioon D[Y].
D[Y] = (20 2 * 6 + 30 2 * 9 + 40 2 * 55 + 50 2 * 16 + 60 2 * 14) / 100 - 42,3 2 = 99,71
Standardhälve σ(y).
Kuna P(X=11,Y=20) = 2≠2 6, siis juhuslikud suurused X ja Y sõltuv.
2. Tingimuslik jaotusseadus X.
Tingimuslik jaotusseadus X(Y=20).
P(X = 11/Y = 20) = 2/6 = 0,33
P(X=16/Y=20) = 4/6 = 0,67
P(X = 21/Y = 20) = 0/6 = 0
P(X = 26/Y = 20) = 0/6 = 0
P(X = 31/Y = 20) = 0/6 = 0
P(X = 36/Y = 20) = 0/6 = 0
Tingimuslik matemaatiline ootus M = 11*0,33 + 16*0,67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14,33
Tingimuslik dispersioon D = 11 2 *0,33 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14,33 2 = 5,56
Tingimuslik jaotusseadus X(Y=30).
P(X = 11/Y = 30) = 0/9 = 0
P(X = 16/Y = 30) = 6/9 = 0,67
P(X = 21/Y = 30) = 3/9 = 0,33
P(X = 26/Y = 30) = 0/9 = 0
P(X = 31/Y = 30) = 0/9 = 0
P(X = 36/Y = 30) = 0/9 = 0
Tingimuslik matemaatiline ootus M = 11*0 + 16*0,67 + 21*0,33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17,67
Tingimuslik dispersioon D = 11 2 *0 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0,33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17,67 2 = 5,56
Tingimuslik jaotusseadus X(Y=40).
P(X = 11/Y = 40) = 0/55 = 0
P(X = 16/Y = 40) = 0/55 = 0
P(X = 21/Y = 40) = 6/55 = 0,11
P(X = 26/Y = 40) = 45/55 = 0,82
P(X = 31/Y = 40) = 4/55 = 0,0727
P(X = 36/Y = 40) = 0/55 = 0
Tingimuslik matemaatiline ootus M = 11*0 + 16*0 + 21*0,11 + 26*0,82 + 31*0,0727 + 36*0 = 25,82
Tingimuslik dispersioon D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,11 + 26 2 *0,82 + 31 2 *0,0727 + 36 2 *0 - 25,82 2 = 4,51
Tingimuslik jaotusseadus X(Y=50).
P(X = 11/Y = 50) = 0/16 = 0
P(X = 16/Y = 50) = 0/16 = 0
P(X = 21/Y = 50) = 2/16 = 0,13
P(X = 26/Y = 50) = 8/16 = 0,5
P(X = 31/Y = 50) = 6/16 = 0,38
P(X = 36/Y = 50) = 0/16 = 0
Tingimuslik matemaatiline ootus M = 11*0 + 16*0 + 21*0,13 + 26*0,5 + 31*0,38 + 36*0 = 27,25
Tingimuslik dispersioon D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,13 + 26 2 *0,5 + 31 2 *0,38 + 36 2 *0 - 27,25 2 = 10,94
Tingimuslik jaotusseadus X(Y=60).
P(X = 11/Y = 60) = 0/14 = 0
P(X = 16/Y = 60) = 0/14 = 0
P(X = 21/Y = 60) = 0/14 = 0
P(X = 26/Y = 60) = 4/14 = 0,29
P(X = 31/Y = 60) = 7/14 = 0,5
P(X = 36/Y = 60) = 3/14 = 0,21
Tingimuslik matemaatiline ootus M = 11 * 0 + 16 * 0 + 21 * 0 + 26 * 0,29 + 31 * 0,5 + 36 * 0,21 = 30,64
Tingimuslik dispersioon D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0,29 + 31 2 *0,5 + 36 2 *0,21 - 30,64 2 = 12,37
3. Tingimuslik jaotusseadus Y.
Tingimuslik jaotusseadus Y(X=11).
P(Y = 20/X = 11) = 2/2 = 1
P(Y = 30/X = 11) = 0/2 = 0
P(Y = 40/X = 11) = 0/2 = 0
P(Y = 50/X = 11) = 0/2 = 0
P(Y = 60/X = 11) = 0/2 = 0
Tingimuslik matemaatiline ootus M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Tingimuslik dispersioon D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Tingimuslik jaotusseadus Y(X=16).
P(Y = 20/X = 16) = 4/10 = 0,4
P(Y = 30/X = 16) = 6/10 = 0,6
P(Y = 40/X = 16) = 0/10 = 0
P(Y = 50/X = 16) = 0/10 = 0
P(Y = 60/X = 16) = 0/10 = 0
Tingimuslik matemaatiline ootus M = 20*0,4 + 30*0,6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Tingimuslik dispersioon D = 20 2 *0,4 + 30 2 *0,6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Tingimuslik jaotusseadus Y(X=21).
P(Y = 20/X = 21) = 0/11 = 0
P(Y = 30/X = 21) = 3/11 = 0,27
P(Y = 40/X = 21) = 6/11 = 0,55
P(Y = 50/X = 21) = 2/11 = 0,18
P(Y = 60/X = 21) = 0/11 = 0
Tingimuslik matemaatiline ootus M = 20*0 + 30*0,27 + 40*0,55 + 50*0,18 + 60*0 = 39,09
Tingimuslik dispersioon D = 20 2 *0 + 30 2 *0,27 + 40 2 *0,55 + 50 2 *0,18 + 60 2 *0 - 39,09 2 = 44,63
Tingimuslik jaotusseadus Y(X=26).
P(Y = 20/X = 26) = 0/57 = 0
P(Y = 30/X = 26) = 0/57 = 0
P(Y = 40/X = 26) = 45/57 = 0,79
P(Y = 50/X = 26) = 8/57 = 0,14
P(Y = 60/X = 26) = 4/57 = 0,0702
Tingimuslik matemaatiline ootus M = 20*0 + 30*0 + 40*0,79 + 50*0,14 + 60*0,0702 = 42,81
Tingimuslik dispersioon D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0,79 + 50 2 * 0,14 + 60 2 * 0,0702 - 42,81 2 = 34,23
Tingimuslik jaotusseadus Y(X=31).
P(Y = 20/X = 31) = 0/17 = 0
P(Y = 30/X = 31) = 0/17 = 0
P(Y = 40/X = 31) = 4/17 = 0,24
P(Y = 50/X = 31) = 6/17 = 0,35
P(Y = 60/X = 31) = 7/17 = 0,41
Tingimuslik matemaatiline ootus M = 20*0 + 30*0 + 40*0,24 + 50*0,35 + 60*0,41 = 51,76
Tingimuslik dispersioon D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,24 + 50 2 *0,35 + 60 2 *0,41 - 51,76 2 = 61,59
Tingimuslik jaotusseadus Y(X=36).
P(Y = 20/X = 36) = 0/3 = 0
P(Y = 30/X = 36) = 0/3 = 0
P(Y = 40/X = 36) = 0/3 = 0
P(Y = 50/X = 36) = 0/3 = 0
P(Y = 60/X = 36) = 3/3 = 1
Tingimuslik matemaatiline ootus M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Tingimuslik dispersioon D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 1 - 60 2 = 0
Kovariatsioon.
cov(X,Y) = M – M[X]·M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 50 3 6 + 60 31 7 + 60 36 3) / 100 - 25,3 42,3 = 38,11
Kui juhuslikud suurused on sõltumatud, on nende kovariatsioon null. Meie puhul on cov(X,Y) ≠ 0.
Korrelatsioonikordaja.
Lineaarse regressiooni võrrand y-st x-ni on:
Lineaarse regressiooni võrrand x-st y-ni on:
Leiame vajalikud arvulised karakteristikud.
Näidise keskmised:
x = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3))/100 = 42,3
y = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3))/100 = 25,3
Erinevused:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42,3 2 = 99,71
σ 2 a = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3)/100 - 25,3 2 = 24,01
Kust saame standardhälbeid:
σ x = 9,99 ja σ y = 4,9
ja kovariatsioon:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 50 3 6 + 60 31 7 + 60 36 3) / 100 - 42,3 25,3 = 38,11
Määrame korrelatsioonikordaja:
Kirjutame üles regressioonisirgete y(x) võrrandid:
ja arvutades saame:
y x = 0,38 x + 9,14
Kirjutame üles regressioonisirgete x(y) võrrandid:
ja arvutades saame:
x y = 1,59 y + 2,15
Kui joonistada graafikule tabeli ja regressioonisirgetega määratud punktid, siis näeme, et mõlemad sirged läbivad koordinaatidega punkti (42,3; 25,3) ja punktid asuvad regressioonisirgete lähedal.
Korrelatsioonikordaja olulisus.
Kasutades Studenti tabelit olulisuse tasemega α=0,05 ja vabadusastmetega k=100-m-1 = 98, leiame t crit:
t crit (n-m-1; α/2) = (98; 0,025) = 1,984
kus m = 1 on selgitavate muutujate arv.
Kui t täheldatud > t kriitiline, siis loetakse saadud korrelatsioonikordaja väärtus oluliseks (nullhüpotees, mis väidab, et korrelatsioonikordaja on võrdne nulliga, lükatakse tagasi).
Kuna t obs > t crit, lükkame tagasi hüpoteesi, et korrelatsioonikordaja on 0. Teisisõnu, korrelatsioonikordaja on statistiliselt oluline.
Harjutus. Juhuslike muutujate X ja Y väärtuspaaride tabamuste arv vastavates intervallides on toodud tabelis. Neid andmeid kasutades leidke valimi korrelatsioonikordaja ja näidisvõrrandid sirgetest Y-st X-il ja X-il Y-l.
Lahendus
Näide. Kahemõõtmelise juhusliku suuruse (X, Y) tõenäosusjaotus on antud tabeli abil. Leia komponentsuuruste X, Y ja korrelatsioonikordaja p(X, Y) jaotuse seadused.
Laadige lahendus alla
Harjutus. Kahemõõtmeline diskreetne suurus (X, Y) on antud jaotusseadusega. Leia komponentide X ja Y jaotuse seadused, kovariatsioon ja korrelatsioonikordaja.
Olgu antud kahemõõtmeline juhuslik suurus $(X,Y)$.
Definitsioon 1
Kahemõõtmelise juhusliku muutuja $(X,Y)$ jaotusseadus on võimalike arvupaaride hulk $(x_i,\ y_j)$ (kus $x_i \epsilon X,\ y_j \epsilon Y$) ja nende tõenäosused $p_(ij)$ .
Kõige sagedamini on kahemõõtmelise juhusliku suuruse jaotusseadus kirjutatud tabeli kujul (tabel 1).
Joonis 1. Kahemõõtmelise juhusliku suuruse jaotusseadus.
Tuletame nüüd meelde teoreem sõltumatute sündmuste tõenäosuste liitmise kohta.
1. teoreem
Lõpliku arvu sõltumatute sündmuste $(\A)_1$, $(\A)_2$, ... ,$\(\A)_n$ summa tõenäosus arvutatakse valemiga:
Selle valemi abil saate kahemõõtmelise juhusliku muutuja iga komponendi jaotusseadused, st:
Sellest järeldub, et kahemõõtmelise süsteemi kõigi tõenäosuste summal on järgmine kuju:
Vaatleme üksikasjalikult (samm-sammult) probleemi, mis on seotud kahemõõtmelise juhusliku suuruse jaotusseaduse mõistega.
Näide 1
Kahemõõtmelise juhusliku suuruse jaotusseadus on toodud järgmises tabelis:
Joonis 2.
Leidke juhuslike suuruste $X,\ Y$, $X+Y$ jaotuse seadused ja kontrollige igal juhul, et tõenäosuste summa on võrdne ühega.
- Leiame esmalt juhusliku suuruse $X$ jaotuse. Juhusliku muutuja $X$ väärtused võivad olla $x_1=2,$ $x_2=3$, $x_3=5$. Jaotuse leidmiseks kasutame teoreemi 1.
Leiame esmalt tõenäosuste summa $x_1$ järgmiselt:
Joonis 3.
Samamoodi leiame $P\left(x_2\right)$ ja $P\left(x_3\right)$:
\ \
Joonis 4.
- Leiame nüüd juhusliku suuruse $Y$ jaotuse. Juhusliku muutuja $Y$ väärtused võivad olla $x_1=1, $ $x_2=3$, $x_3=4$. Jaotuse leidmiseks kasutame teoreemi 1.
Leiame esmalt tõenäosuste summa $y_1$ järgmiselt:
Joonis 5.
Samamoodi leiame $P\left(y_2\right)$ ja $P\left(y_3\right)$:
\ \
See tähendab, et väärtuse $X$ jaotusseadus on järgmisel kujul:
Joonis 6.
Kontrollime tõenäosuste kogusumma võrdsust:
- Jääb üle leida juhusliku suuruse $X+Y$ jaotusseadus.
Mugavuse huvides tähistame seda $Z$-ga: $Z=X+Y$.
Kõigepealt uurime, milliseid väärtusi see kogus võib võtta. Selleks liidame väärtused $X$ ja $Y$ paarikaupa. Saame järgmised väärtused: 3, 4, 6, 5, 6, 8, 6, 7, 9. Kui nüüd sobituvad väärtused kõrvale jätta, leiame, et juhuslik muutuja $X+Y$ võib võtta väärtused $z_1 =3,\ z_2=4 ,\ z_3=5,\ z_4=6,\ z_5=7,\ z_6=8,\ z_7=9.\ $
Leiame esmalt $P(z_1)$. Kuna $z_1$ väärtus on üks, leitakse see järgmiselt:
Joonis 7.
Kõik tõenäosused peale $P(z_4)$ leitakse sarnaselt:
Leiame nüüd $P(z_4)$ järgmiselt:
Joonis 8.
See tähendab, et väärtuse $Z$ jaotusseadus on järgmisel kujul:
Joonis 9.
Kontrollime tõenäosuste kogusumma võrdsust:
kahemõõtmeline diskreetne jaotus juhuslik
Sageli kirjeldatakse katse tulemust mitme juhusliku muutujaga: . Näiteks ilma teatud kohas teatud kellaajal saab iseloomustada järgmiste juhuslike suurustega: X 1 - temperatuur, X 2 - rõhk, X 3 - õhuniiskus, X 4 - tuule kiirus.
Sel juhul räägime mitmemõõtmelisest juhuslikust suurusest või juhuslike muutujate süsteemist.
Vaatleme kahemõõtmelist juhuslikku muutujat, mille võimalikud väärtused on arvupaarid. Geomeetriliselt saab kahemõõtmelist juhuslikku muutujat tõlgendada juhusliku punktina tasapinnal.
Kui komponendid X Ja Y on diskreetsed juhuslikud suurused, siis on diskreetne kahemõõtmeline juhuslik suurus ja kui X Ja Y on pidev, siis on pidev kahemõõtmeline juhuslik suurus.
Kahemõõtmelise juhusliku suuruse tõenäosusjaotuse seadus on vastavus võimalike väärtuste ja nende tõenäosuste vahel.
Kahemõõtmelise diskreetse juhusliku suuruse jaotusseadust saab määrata kahekordse sisendiga tabeli kujul (vt tabel 6.1), kus on tõenäosus, et komponent X omandas tähenduse x i ja komponent Y- tähendus y j .
Tabel 6.1.1.
|
y 1 |
y 2 |
y j |
y m |
|||
|
x 1 |
lk 11 |
lk 12 |
lk 1j |
lk 1 m |
||
|
x 2 |
lk 21 |
lk 22 |
lk 2j |
lk 2 m |
||
|
x i |
lk i1 |
lk i2 |
lk ij |
lk im |
||
|
x n |
lk n1 |
lk n2 |
lk nj |
lk nm |
Kuna sündmused moodustavad paarikaupa kokkusobimatute sündmuste täieliku rühma, on tõenäosuste summa võrdne 1-ga, s.o.
Tabelist 6.1 leiate ühemõõtmeliste komponentide jaotuse seadused X Ja Y.
Näide 6.1.1 . Leidke komponentide jaotumise seadused X Ja jah kui kahemõõtmelise juhusliku suuruse jaotus on toodud tabeli 6.1.2 kujul.
Tabel 6.1.2.
Kui fikseerime näiteks ühe argumendi väärtuse, siis saadud väärtuse jaotuse X nimetatakse tingimuslikuks jaotuseks. Tingimuslik jaotus on defineeritud sarnaselt Y.
Näide 6.1.2 . Vastavalt tabelis toodud kahemõõtmelise juhusliku suuruse jaotusele. 6.1.2, leia: a) komponendi tingimuslik jaotusseadus X arvestades seda; b) tingimusliku jaotamise seadus Y tingimusel, et.
Lahendus. Komponentide tingimuslikud tõenäosused X Ja Y arvutatakse valemite abil
Tingimusliku levitamise seadus X tingimusel, et sellel on vorm
Kontroll: .
Kahemõõtmelise juhusliku suuruse jaotusseadust saab määrata kujul jaotusfunktsioonid, mis määrab iga numbripaari puhul tõenäosuse, et X võtab väärtuse, mis on väiksem kui X, ja kus Y võtab väärtuse, mis on väiksem kui y:
Geomeetriliselt tähendab funktsioon tõenäosust, et juhuslik punkt langeb lõpmatusse ruutu, mille tipp asub punktis (joonis 6.1.1).
Märgime omadused.
- 1. Funktsiooni väärtuste vahemik on , s.o. .
- 2. Funktsioon – iga argumendi mittekahanev funktsioon.
- 3. On piiravaid seoseid:
Kui süsteemi jaotusfunktsioon võrdub komponendi jaotusfunktsiooniga X, st. .
Samamoodi,.
Seda teades saate leida tõenäosuse, et juhuslik punkt langeb ristkülikusse ABCD.
Nimelt,
Näide 6.1.3. Kahemõõtmeline diskreetne juhuslik suurus määratakse jaotustabeli abil
Leidke jaotusfunktsioon.
Lahendus. Väärtus diskreetsete komponentide korral X Ja Y leitakse kõigi tõenäosuste indeksitega liitmisel i Ja j, mille jaoks, . Siis, kui ja, siis (sündmused ja on võimatud). Samamoodi saame:
kui ja siis;
kui ja siis;
kui ja siis;
kui ja siis;
kui ja siis;
kui ja siis;
kui ja siis;
kui ja siis;
kui ja siis.
Esitame saadud tulemused väärtuste tabeli (6.1.3) kujul:
Sest kahemõõtmeline pidev juhuslik suurus, võetakse kasutusele tõenäosustiheduse mõiste
Geomeetriline tõenäosustihedus on jaotuspind ruumis
Kahemõõtmelisel tõenäosustihedusel on järgmised omadused:
3. Jaotusfunktsiooni saab väljendada valemi kaudu
4. Tõenäosus, et pidev juhuslik suurus langeb piirkonda, on võrdne
5. Vastavalt funktsiooni omadusele (4) kehtivad järgmised valemid:
Näide 6.1.4. Kahemõõtmelise juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on antud