Võrrandi juurteks on väärtused. Võrrand ja selle juured: definitsioonid, näited

Pärast seda, kui oleme uurinud võrduste mõistet, nimelt ühte nende tüüpidest - arvulisi võrdusi, saame liikuda edasi teise olulise tüübi - võrrandite juurde. Selle materjali raames selgitame, mis on võrrand ja selle juur, sõnastame põhidefinitsioonid ning toome erinevaid näiteid võrranditest ja nende juurte leidmisest.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Võrrandi mõiste

Tavaliselt õpitakse võrrandi mõistet kooli algebrakursuse alguses. Siis määratletakse see järgmiselt:

Definitsioon 1

Võrrand nimetatakse võrdsus tundmatu arvuga leida.

Tundmatuid on tavaks tähistada väikeste ladina tähtedega, näiteks t, r, m jne, kuid kõige sagedamini kasutatakse x, y, z. Teisisõnu, võrrand määrab selle salvestuse vormi, see tähendab, et võrdsus on võrrand ainult siis, kui see on taandatud teatud kujule - see peab sisaldama tähte, mille väärtus tuleb leida.

Toome mõned näited kõige lihtsamatest võrranditest. Need võivad olla võrdsused kujul x = 5, y = 6 jne, aga ka need, mis sisaldavad aritmeetilisi tehteid, näiteks x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6:x =3.

Pärast sulgude kontseptsiooni uurimist ilmub sulgudega võrrandite mõiste. Nende hulka kuuluvad 7 (x − 1) = 19, x + 6 (x + 6 (x − 8)) = 3 jne. Leitav täht võib esineda rohkem kui üks kord, kuid mitu, nagu näiteks võrrand x + 2 + 4 x - 2 - x = 10 . Samuti võivad tundmatud paikneda mitte ainult vasakul, vaid ka paremal või mõlemas osas korraga, näiteks x (8 + 1) - 7 = 8, 3 - 3 = z + 3 või 8 x - 9 = 2 (x + 17).

Peale seda, kui õpilased on tutvunud täisarvude, reaal-, ratsionaal-, naturaalarvude, aga ka logaritmide, juurte ja astmetega, ilmuvad uued võrrandid, mis hõlmavad kõiki neid objekte. Oleme selliste väljendite näidetele pühendanud eraldi artikli.

7. klassi programmis ilmneb kõigepealt muutujate mõiste. Need on tähed, mis võivad omandada erinevaid väärtusi (lisateavet leiate artiklist numbrite, sõnasõnaliste ja muutujatega avaldiste kohta). Selle kontseptsiooni põhjal saame võrrandi uuesti määratleda:

2. definitsioon

Võrrand on võrdus, mis hõlmab muutujat, mille väärtust tuleb arvutada.

See tähendab, et näiteks avaldis x + 3 \u003d 6 x + 7 on võrrand muutujaga x ja 3 y − 1 + y \u003d 0 on võrrand muutujaga y.

Ühes võrrandis võib olla mitte üks muutuja, vaid kaks või enam. Neid nimetatakse vastavalt kahe, kolme muutujaga võrranditeks jne. Kirjutame definitsiooni:

3. määratlus

Kahe (kolme, nelja või enama) muutujaga võrrandeid nimetatakse võrranditeks, mis sisaldavad sobivat arvu tundmatuid.

Näiteks võrrand kujul 3, 7 x + 0, 6 = 1 on võrrand ühe muutujaga x ja x − z = 5 on võrrand kahe muutujaga x ja z. Kolme muutujaga võrrandi näide oleks x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26 .

Võrrandi juur

Kui me räägime võrrandist, on kohe vaja määratleda selle juure mõiste. Proovime selgitada, mida see tähendab.

Näide 1

Meile antakse võrrand, mis sisaldab ühte muutujat. Kui asendame tundmatu tähe asemel numbri, saab võrrandist numbriline võrdus - kas tõene või väär. Seega, kui võrrandis a + 1 \u003d 5 asendame tähe numbriga 2, muutub võrdsus valeks ja kui 4, siis saame õige võrdsuse 4 + 1 \u003d 5.

Meid huvitavad rohkem just need väärtused, millega muutuja muutub tõeliseks võrdsuseks. Neid nimetatakse juurteks või lahendusteks. Paneme definitsiooni kirja.

4. definitsioon

Võrrandi juur nimeta muutuja väärtus, mis muudab antud võrrandi tõeliseks võrrandiks.

Juure võib nimetada ka otsuseks või vastupidi – mõlemad need mõisted tähendavad sama asja.

Näide 2

Selle määratluse selgitamiseks võtame näite. Eespool esitasime võrrandi a + 1 = 5 . Definitsiooni kohaselt on juur sel juhul 4, kuna tähe asendamisel annab see õige numbrilise võrdsuse ja kaks ei ole lahendus, kuna sellele vastab vale võrdsus 2 + 1 \u003d 5.

Mitu juurt võib ühel võrrandil olla? Kas igal võrrandil on juur? Vastame neile küsimustele.

Samuti on olemas võrrandid, millel pole üht juurt. Näide oleks 0 x = 5 . Võime sellesse sisestada lõputult palju erinevaid arve, kuid ükski neist ei muuda seda tõeliseks võrduseks, kuna 0-ga korrutamine annab alati 0 .

On ka võrrandeid, millel on mitu juurt. Neil võib olla nii piiratud kui ka lõputult palju juuri.

Näide 3

Niisiis, võrrandis x - 2 \u003d 4 on ainult üks juur - kuus, x 2 \u003d 9 kaks juurt - kolm ja miinus kolm, x (x - 1) (x - 2) \u003d 0 kolm juurt - null, üks ja kaks, võrrandis x=x on lõpmatult palju juuri.

Nüüd selgitame, kuidas võrrandi juuri õigesti kirjutada. Kui neid pole, siis kirjutame nii: "võrrandil pole juuri." Samuti on sel juhul võimalik näidata tühja hulga märki ∅ . Kui juured on olemas, siis kirjutame need komadega eraldatuna või märgime hulga elementidena, lisades need sulgudesse. Seega, kui mis tahes võrrandil on kolm juurt - 2, 1 ja 5, siis kirjutame - 2, 1, 5 või (- 2, 1, 5) .

Lubatud on kirjutada juured kõige lihtsamate võrrandite kujul. Seega, kui võrrandis on tundmatu tähistatud tähega y ja juured on 2 ja 7, siis kirjutame y \u003d 2 ja y \u003d 7. Mõnikord lisatakse tähtedele alaindeksid, näiteks x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5. Seega näitame juurte numbreid. Kui võrrandil on lõpmata palju lahendeid, siis kirjutame vastuse numbrilise intervallina või kasutame üldtunnustatud tähistust: naturaalarvude hulk on tähistatud N, täisarvud - Z, reaalarvud - R. Oletame, et kui meil on vaja kirjutada, et võrrandi lahenduseks on suvaline täisarv, siis kirjutame, et x ∈ Z ja kui mõni reaalarv on ühest üheksani, siis y ∈ 1, 9.

Kui võrrandil on kaks, kolm või enam juurt, siis reeglina ei räägita juurtest, vaid võrrandi lahenditest. Sõnastame mitme muutujaga võrrandi lahendi definitsiooni.

Definitsioon 5

Kahe, kolme või enama muutujaga võrrandi lahendus on muutujate kaks, kolm või enam väärtust, mis muudavad selle võrrandi tõeliseks arvuliseks võrduseks.

Selgitame definitsiooni näidetega.

Näide 4

Oletame, et meil on avaldis x + y = 7 , mis on kahe muutujaga võrrand. Asendage üks esimene ja kaks teise asemel. Saame vale võrdsuse, mis tähendab, et see väärtuspaar ei ole selle võrrandi lahendus. Kui võtame paari 3 ja 4, siis võrdsus muutub tõeseks, mis tähendab, et oleme leidnud lahenduse.

Sellistel võrranditel võib ka olla juurteta või neid võib olla lõpmatu arv. Kui meil on vaja üles kirjutada kaks, kolm, neli või enam väärtust, siis eraldame need sulgudesse komadega. See tähendab, et ülaltoodud näites näeb vastus välja selline (3 , 4) .

Praktikas tuleb enamasti tegeleda ühte muutujat sisaldavate võrranditega. Nende lahendamise algoritmi käsitleme üksikasjalikult võrrandite lahendamisele pühendatud artiklis.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Mõelge ruutvõrrandile:
(1) .
Ruutvõrrandi juured(1) määratakse järgmiste valemitega:
; .
Neid valemeid saab kombineerida järgmiselt:
.
Kui ruutvõrrandi juured on teada, saab teise astme polünoomi esitada tegurite korrutisena (faktoreeritud):
.

Lisaks eeldame, et need on reaalarvud.
Kaaluge ruutvõrrandi diskriminant:
.
Kui diskriminant on positiivne, on ruutvõrrandil (1) kaks erinevat reaaljuurt:
; .
Siis on ruudukujulise trinoomi faktoriseerimine järgmine:
.
Kui diskriminant on null, siis ruutvõrrandil (1) on kaks mitmekordset (võrdset) reaaljuurt:
.
Faktoreerimine:
.
Kui diskriminant on negatiivne, on ruutvõrrandil (1) kaks keerulist konjugaatjuurt:
;
.
Siin on imaginaarne ühik ;
ja need on juurte tegelikud ja kujuteldavad osad:
; .
Siis

.

Graafiline tõlgendus

Kui joonistame funktsiooni graafiku
,
mis on parabool, siis on graafiku lõikepunktid teljega võrrandi juurteks
.
Kui , lõikub graafik abstsissteljega (teljega) kahes punktis.
Kui , puudutab graafik ühes punktis x-telge.
Kui , graafik ei ristu x-teljega.

Allpool on selliste graafikute näited.

Kasulikud ruutvõrrandiga seotud valemid

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine

Teostame teisendusi ja rakendame valemeid (f.1) ja (f.3):




,
kus
; .

Niisiis saime teise astme polünoomi valemi kujul:
.
Sellest on näha, et võrrand

esines kl
Ja .
See tähendab, ja on ruutvõrrandi juured
.

Näited ruutvõrrandi juurte määramisest

Näide 1

(1.1) .

.
Võrreldes meie võrrandiga (1.1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Diskriminandi leidmine:
.
Kuna diskriminant on positiivne, on võrrandil kaks tegelikku juurt:
;
;
.

Siit saame ruudukujulise trinoomi lagunemise teguriteks:

.

Funktsiooni y = graafik 2 x 2 + 7 x + 3 ristub kahes punktis x-teljega.

Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See ristub x-teljega kahes punktis:
Ja .
Need punktid on algse võrrandi (1.1) juured.

;
;
.

Näide 2

Leidke ruutvõrrandi juured:
(2.1) .

Kirjutame ruutvõrrandi üldkujul:
.
Võrreldes algse võrrandiga (2.1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Diskriminandi leidmine:
.
Kuna diskriminant on null, on võrrandil kaks mitmekordset (võrdset) juurt:
;
.

Siis on trinoomi faktoriseerimisel järgmine vorm:
.

Funktsiooni y = x graafik 2–4 x + 4 puudutab ühes punktis x-telge.

Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See puudutab x-telge (telge) ühes punktis:
.
See punkt on algse võrrandi (2.1) juur. Kuna see juur arvutatakse kaks korda:
,
siis nimetatakse sellist juurt mitmekordseks. See tähendab, et nad arvavad, et on kaks võrdset juurt:
.

;
.

Näide 3

Leidke ruutvõrrandi juured:
(3.1) .

Kirjutame ruutvõrrandi üldkujul:
(1) .
Kirjutame algse võrrandi (3.1) ümber:
.
Võrreldes punktiga (1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Diskriminandi leidmine:
.
Diskriminant on negatiivne, . Seetõttu pole tõelisi juuri.

Võite leida keerukaid juuri:
;
;

Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See ei ületa abstsissi (telge). Seetõttu pole tõelisi juuri.

Päris juuri pole. Keerulised juured:
;
;
.

Erilisel kohal on võrrandite lahendamine matemaatikas. Sellele protsessile eelneb mitu tundi teooria õppimist, mille jooksul õpib võrrandeid lahendama, nende kuju määrama ja oskuse täielikku automatiseerimist viima. Kuid juurte otsimine ei ole alati mõttekas, kuna neid ei pruugi lihtsalt eksisteerida. Juurte leidmiseks on spetsiaalsed meetodid. Selles artiklis analüüsime põhifunktsioone, nende määratluspiirkondi ja juhtumeid, kus nende juured puuduvad.

Millisel võrrandil pole juuri?

Võrrandil pole juuri, kui puuduvad reaalsed argumendid x, mille puhul võrrand on identselt tõene. Mittespetsialisti jaoks tundub see sõnastus, nagu enamik matemaatilisi teoreeme ja valemeid, väga ebamäärane ja abstraktne, kuid see on teoreetiline. Praktikas muutub kõik äärmiselt lihtsaks. Näiteks: võrrandil 0 * x = -53 pole lahendust, kuna pole sellist arvu x, mille korrutis nulliga annaks midagi muud kui null.

Nüüd vaatame kõige põhilisemaid võrrandite tüüpe.

1. Lineaarvõrrand

Võrrandit nimetatakse lineaarseks, kui selle parem- ja vasakpoolne osa on esitatud lineaarsete funktsioonidena: ax + b = cx + d või üldistatult kx + b = 0. Kus a, b, c, d on teadaolevad arvud ja x on tundmatu väärtus. Millisel võrrandil pole juuri? Lineaarvõrrandite näited on toodud alloleval joonisel.

Põhimõtteliselt lahendatakse lineaarvõrrandid lihtsalt numbrilise osa ülekandmisega ühte ossa ja x-i sisu teise ülekandmisega. Selgub võrrand kujul mx \u003d n, kus m ja n on arvud ning x on tundmatu. x leidmiseks piisab, kui jagada mõlemad osad m-ga. Siis x = n/m. Põhimõtteliselt on lineaarvõrranditel ainult üks juur, kuid on juhtumeid, kus juuri on kas lõpmatult palju või pole üldse. Kui m = 0 ja n = 0, on võrrand kujul 0 * x = 0. Sellise võrrandi lahenduseks on absoluutselt iga arv.

Kuid millisel võrrandil pole juuri?

Kui m = 0 ja n = 0, ei ole võrrandil reaalarvude hulgast juured. 0 * x = -1; 0 * x = 200 – neil võrranditel pole juuri.

2. Ruutvõrrand

Ruutvõrrand on võrrand kujul ax 2 + bx + c \u003d 0, kui \u003d 0. Kõige tavalisem on lahendus diskriminandi kaudu. Ruutvõrrandi diskriminandi leidmise valem: D \u003d b 2 - 4 * a * c. Järgmisena on kaks juurt x 1,2 = (-b ± √D) / 2 * a.

Kui D > 0, on võrrandil kaks juurt, kui D = 0, siis üks juur. Kuid millisel ruutvõrrandil pole juuri? Lihtsaim viis ruutvõrrandi juurte arvu jälgimiseks on funktsiooni graafikul, milleks on parabool. A > 0 puhul on oksad suunatud ülespoole, a puhul< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Samuti saate visuaalselt määrata juurte arvu ilma diskriminanti arvutamata. Selleks peate leidma parabooli tipu ja määrama, millises suunas oksad on suunatud. Tipu x-koordinaadi saate määrata valemiga: x 0 \u003d -b / 2a. Sel juhul leitakse tipu y-koordinaat, asendades lihtsalt x0 väärtuse algsesse võrrandisse.

Ruutvõrrandil x 2 - 8x + 72 = 0 pole juuri, kuna sellel on negatiivne diskriminant D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224. See tähendab, et parabool ei puuduta x-telge ja funktsioon ei võta kunagi väärtust 0, seega pole võrrandil tegelikke juuri.

3. Trigonomeetrilised võrrandid

Trigonomeetrilisi funktsioone käsitletakse trigonomeetrilisel ringil, kuid neid saab esitada ka Descartes'i koordinaatsüsteemis. Selles artiklis vaatleme kahte põhilist trigonomeetrilist funktsiooni ja nende võrrandeid: sinx ja cosx. Kuna need funktsioonid moodustavad trigonomeetrilise ringi raadiusega 1, siis |sinx| ja |cosx| ei saa olla suurem kui 1. Millisel sinxi võrrandil pole juuri? Vaatleme alloleval pildil näidatud sinxi funktsiooni graafikut.

Näeme, et funktsioon on sümmeetriline ja selle kordusperiood on 2pi. Selle põhjal võime öelda, et selle funktsiooni maksimaalne väärtus võib olla 1 ja minimaalne -1. Näiteks avaldisel cosx = 5 ei ole juuri, kuna see on absoluutväärtuses suurem kui üks.

See on trigonomeetriliste võrrandite lihtsaim näide. Tegelikult võib nende lahendus võtta palju lehekülgi, mille lõpus saad aru, et kasutasid vale valemit ja pead otsast peale alustama. Mõnikord võib isegi juurte õige leidmise korral unustada ODZ piiranguid arvesse võtta, mistõttu vastusesse ilmub lisajuur või intervall ja kogu vastus muutub ekslikuks. Seetõttu järgige rangelt kõiki piiranguid, sest mitte kõik juured ei sobi ülesande ulatusse.

4. Võrrandisüsteemid

Võrrandisüsteem on võrrandite kogum, mis on kombineeritud lokkis või nurksulgudega. Lokkis sulgud tähistavad kõigi võrrandite ühist täitmist. See tähendab, et kui vähemalt ühel võrrandil pole juuri või see on teisega vastuolus, pole kogu süsteemil lahendust. Ruudusulud tähistavad sõna "või". See tähendab, et kui süsteemi vähemalt ühel võrrandil on lahendus, siis on lahendus olemas kogu süsteemil.

Süsteemi c vastus on üksikute võrrandite kõigi juurte kogusumma. Ja lokkis traksidega süsteemidel on ainult ühised juured. Võrrandisüsteemid võivad sisaldada täiesti erinevaid funktsioone, nii et see keerukus ei võimalda kohe öelda, millisel võrrandil pole juuri.

Probleemraamatutes ja õpikutes on erinevat tüüpi võrrandeid: need, millel on juured, ja need, millel neid pole. Esiteks, kui te ei leia juuri, ärge arvake, et neid pole üldse olemas. Võib-olla olete kuskil teinud vea, siis piisab, kui oma otsust hoolikalt üle kontrollida.

Oleme kaalunud kõige elementaarsemaid võrrandeid ja nende tüüpe. Nüüd saate aru, millisel võrrandil pole juuri. Enamikul juhtudel pole seda üldse raske teha. Võrrandite lahendamisel edu saavutamiseks on vaja ainult tähelepanu ja keskendumist. Harjutage rohkem, see aitab teil materjalis palju paremini ja kiiremini liikuda.

Seega pole võrrandil juuri, kui:

• lineaarvõrrandis mx = n on väärtus m = 0 ja n = 0;
• ruutvõrrandis, kui diskriminant on väiksem kui null;
• trigonomeetrilises võrrandis kujul cosx = m / sinx = n, kui |m| > 0, |n| > 0;
• nurksulgudega võrrandisüsteemis, kui vähemalt ühel võrrandil pole juuri, ja nurksulgudega, kui kõigil võrranditel pole juuri.