Kompleksarvud trigonomeetrilisest algebralise vormini. Kompleksarvu trigonomeetrilised ja eksponentsiaalsed vormid

KEERULISED NUMBRID XI

§ 256. Kompleksarvude trigonomeetriline kuju

Olgu kompleksarv a + bi vastab vektorile O.A.> koordinaatidega ( a, b ) (vt joonis 332).

Tähistame selle vektori pikkust tähega r ja nurk, mille see teljega moodustab X , läbi φ . Siinuse ja koosinuse määratluse järgi:

a / r =cos φ , b / r = patt φ .

Sellepärast A = r cos φ , b = r patt φ . Aga antud juhul kompleksarv a + bi võib kirjutada järgmiselt:

a + bi = r cos φ + ir patt φ = r (cos φ + i patt φ ).

Nagu teate, on mis tahes vektori pikkuse ruut võrdne selle koordinaatide ruutude summaga. Sellepärast r 2 = a 2 + b 2, kust r = √a 2 + b 2

Niisiis, mis tahes kompleksarv a + bi saab esitada kujul :

a + bi = r (cos φ + i patt φ ), (1)

kus r = √a 2 + b 2 ja nurk φ määratakse tingimuse järgi:

Sellist kompleksarvude kirjutamise vormi nimetatakse trigonomeetriline.

Number r valemis (1) nimetatakse moodul ja nurk φ - argument, kompleksarv a + bi .

Kui kompleksarv a + bi ei ole võrdne nulliga, siis on selle moodul positiivne; kui a + bi = 0, siis a = b = 0 ja siis r = 0.

Iga kompleksarvu moodul määratakse üheselt.

Kui kompleksarv a + bi ei ole võrdne nulliga, siis määratakse selle argument valemitega (2) kindlasti 2-ga jaguva nurga täpsusega π . Kui a + bi = 0, siis a = b = 0. Sel juhul r = 0. Valemist (1) on seda lihtne argumendina mõista φ sel juhul saate valida mis tahes nurga: lõppude lõpuks iga jaoks φ

0 (maks φ + i patt φ ) = 0.

Seetõttu on null argument määratlemata.

Kompleksarvu moodul r mõnikord tähistatakse | z | ja argument on arg z . Vaatame mõnda näidet kompleksarvude esitamisest trigonomeetrilisel kujul.

Näide. 1. 1 + i .

Leiame mooduli r ja argument φ see number.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Seetõttu patt φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, kust φ = π / 4 + 2nπ .

Seega

1 + i = √ 2 ,

Kus P - mis tahes täisarv. Tavaliselt valitakse kompleksarvu argumendi lõpmatust väärtuste hulgast üks, mis jääb vahemikku 0 kuni 2 π . Sel juhul on see väärtus π / 4 . Sellepärast

1 + i = √ 2 (maks π / 4 + i patt π / 4)

Näide 2. Kirjutage kompleksarv trigonomeetrilisel kujul √ 3 - i . Meil on:

r = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3/2, sin φ = - 1 / 2

Seega kuni nurgani, mis jagub 2-ga π , φ = 11 / 6 π ; seega,

√ 3 - i = 2 (cos 11/6 π + i patt 11/6 π ).

Näide 3 Kirjutage kompleksarv trigonomeetrilisel kujul i.

Kompleksnumber i vastab vektorile O.A.> , mis lõpeb telje punktis A juures ordinaadiga 1 (joonis 333). Sellise vektori pikkus on 1 ja nurk, mille see teeb x-teljega, on võrdne π / 2. Sellepärast

i =cos π / 2 + i patt π / 2 .

Näide 4. Kirjutage kompleksarv 3 trigonomeetrilisel kujul.

Kompleksarv 3 vastab vektorile O.A. > X abstsiss 3 (joonis 334).

Sellise vektori pikkus on 3 ja nurk, mille ta teeb x-teljega, on 0. Seega

3 = 3 (cos 0 + i patt 0),

Näide 5. Kirjutage kompleksarv -5 trigonomeetrilisel kujul.

Kompleksarv -5 vastab vektorile O.A.> mis lõpeb telje punktis X abstsissiga -5 (joonis 335). Sellise vektori pikkus on 5 ja nurk, mille see moodustab x-teljega, on võrdne π . Sellepärast

5 = 5 (tas π + i patt π ).

Harjutused

2047. Kirjutage need kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul, määratledes nende moodulid ja argumendid:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. Märkige tasapinnal kompleksarve esindavate punktide hulk, mille moodul r ja argumendid φ vastavad tingimustele:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Kas arvud võivad korraga olla kompleksarvu moodulid? r Ja - r ?

2050. Kas kompleksarvu argument võib samaaegselt olla ka nurgad? φ Ja - φ ?

Esitage need kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul, määratledes nende moodulid ja argumendid:

2051*. 1 + cos α + i patt α . 2054*. 2 (cos 20° - i sin 20°).

2052*. patt φ + i cos φ . 2055*. 3 (- cos 15° - i sin 15°).

Loeng

Kompleksarvu trigonomeetriline kuju

Plaan

1. Kompleksarvude geomeetriline esitus.

2. Kompleksarvude trigonomeetriline tähistus.

3. Tegevused kompleksarvudega trigonomeetrilisel kujul.

Kompleksarvude geomeetriline esitus.

a) Kompleksarvud esitatakse tasapinna punktidega vastavalt järgmisele reeglile: a + bi = M ( a ; b ) (joonis 1).

1. pilt

b) Kompleksarvu saab esitada vektoriga, mis algab punktistKOHTA ja lõpp antud punktis (joon. 2).

Joonis 2

Näide 7. Kompleksarve esindavate punktide konstrueerimine:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (joonis 3).

Joonis 3

Kompleksarvude trigonomeetriline tähistus.

Kompleksnumberz = a + bi saab määrata raadiuse vektori abil koordinaatidega( a ; b ) (joonis 4).

Joonis 4

Definitsioon . Vektori pikkus , mis esindab kompleksarvuz , nimetatakse selle arvu mooduliks ja tähistatakse võir .

Mis tahes kompleksarvu jaoksz selle moodulr = | z | määratakse üheselt valemiga .

Definitsioon . Reaaltelje positiivse suuna ja vektori vahelise nurga suurus , mis tähistab kompleksarvu, nimetatakse selle kompleksarvu argumendiks ja seda tähistatakseA rg z võiφ .

Kompleksarvu argumentz = 0 määramata. Kompleksarvu argumentz≠ 0 – mitme väärtusega suurus ja määratakse tähtaja täpsusega2πk (k = 0; -1; 1; -2; 2; …): Arg z = arg z + 2πk , Kusarg z – intervallis sisalduva argumendi põhiväärtus(-π; π] , see on-π < arg z ≤ π (mõnikord võetakse argumendi põhiväärtuseks intervallile kuuluv väärtus .

See valem, kuir =1 mida sageli nimetatakse Moivre'i valemiks:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Näide 11: Arvutage(1 + i ) 100 .

Kirjutame kompleksarvu1 + i trigonomeetrilisel kujul.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + ma patustan )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + ma patustan ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = -2 50 .

4) kompleksarvu ruutjuure eraldamine.

Kui võtta kompleksarvu ruutjuura + bi meil on kaks juhtumit:

Kuib >o , See ;

2.3. Kompleksarvude trigonomeetriline kuju

Määratagu vektor komplekstasandil arvuga .

Tähistame φ-ga positiivse pooltelje Ox ja vektori vahelist nurka (nurk φ loetakse positiivseks, kui seda mõõdetakse vastupäeva, ja negatiivseks muidu).

Tähistame vektori pikkust r-ga. Siis . Samuti tähistame

Nullist erineva kompleksarvu z kirjutamine vormile

nimetatakse kompleksarvu z trigonomeetriliseks vormiks. Arvu r nimetatakse kompleksarvu z mooduliks ja arvu φ nimetatakse selle kompleksarvu argumendiks ja tähistatakse Arg z-ga.

Kompleksarvu kirjutamise trigonomeetriline vorm - (Euleri valem) - kompleksarvu kirjutamise eksponentsiaalne vorm:

Kompleksarvul z on lõpmata palju argumente: kui φ0 on arvu z mis tahes argument, siis kõik ülejäänud saab leida valemiga

Kompleksarvu puhul pole argumenti ja trigonomeetrilist vormi määratletud.

Seega on nullist erineva kompleksarvu argument võrrandisüsteemi mis tahes lahend:

(3)

Kompleksarvu z argumendi väärtust φ, mis rahuldab võrratusi, nimetatakse põhiväärtuseks ja tähistatakse arg z-ga.

Argumendid Arg z ja arg z on seotud

, (4)

Valem (5) on süsteemi (3) tagajärg, mistõttu kõik kompleksarvu argumendid rahuldavad võrdsust (5), kuid mitte kõik võrrandi (5) lahendid φ pole arvu z argumendid.

Nullist erineva kompleksarvu argumendi põhiväärtus leitakse valemite järgi:

Trigonomeetrilisel kujul kompleksarvude korrutamise ja jagamise valemid on järgmised:

. (7)

Kompleksarvu tõstmisel loomuliku astmeni kasutatakse Moivre'i valemit:

Kompleksarvu juure eraldamisel kasutatakse valemit:

, (9)

kus k = 0, 1, 2, …, n-1.

Ülesanne 54. Arvuta, kus .

Esitame selle avaldise lahenduse kompleksarvu kirjutamise eksponentsiaalsel kujul: .

Kui siis.

Siis , . Seetõttu siis Ja , Kus.

Vastus: , kell .

Ülesanne 55. Kirjutage kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul:

A) ; b) ; V) ; G) ; d) ; e) ; ja) .

Kuna kompleksarvu trigonomeetriline kuju on , siis:

a) Kompleksarvus: .

,

Sellepärast

b) , Kus,

G) , Kus,

e) .

ja) , A , See.

Sellepärast

Vastus: ; 4; ; ; ; ; .

Ülesanne 56. Leia kompleksarvu trigonomeetriline kuju

.

lase , .

Siis , , .

Alates ja , , siis , ja

Seetõttu, seega

Vastus: , Kus.

Ülesanne 57. Kasutades kompleksarvu trigonomeetrilist kuju, tee järgmised toimingud: .

Kujutame ette numbreid ja trigonomeetrilisel kujul.

1), kus Siis

Leidke peamise argumendi väärtus:

Asendame väärtused ja avaldisesse, saame

2) , kus siis

Siis

3) Leiame jagatise

Eeldades, et k=0, 1, 2, saame kolm erinevaid tähendusi soovitud juur:

Kui siis

kui siis

kui siis .

Vastus: :

:

: .

Ülesanne 58. Olgu , , , erinevad kompleksarvud ja . Tõesta seda

a) number on reaalne positiivne arv;

b) võrdsus kehtib:

a) Esitame need kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul:

Sest .

Teeskleme seda. Siis

.

Viimane avaldis on positiivne arv, kuna siinusmärgid sisaldavad intervalli numbreid.

alates numbrist tõeline ja positiivne. Tõepoolest, kui a ja b on kompleksarvud ja on reaalsed ja suuremad kui null, siis .

Pealegi,

seega on nõutav võrdsus tõestatud.

Ülesanne 59. Kirjutage arv algebralisel kujul .

Esitame arvu trigonomeetrilisel kujul ja seejärel leiame selle algebralise kuju. Meil on . Sest saame süsteemi:

See tähendab võrdsust: .

Rakendades Moivre'i valemit: ,

saame

Leitakse antud arvu trigonomeetriline kuju.

Kirjutame nüüd selle arvu algebralisel kujul:

.

Vastus: .

Ülesanne 60. Leia summa , ,

Mõelgem summale

Moivre'i valemit rakendades leiame

See summa on nimetajaga geomeetrilise progressiooni n liikme summa ja esimene liige .

Rakendades sellise progressi liikmete summa valemit, saame

Isoleerides viimase avaldise imaginaarse osa, leiame

Reaalosa eraldamisel saame ka järgmise valemi: , , .

Ülesanne 61. Leia summa:

A) ; b) .

Newtoni astendamise valemi järgi on meil

Kasutades Moivre'i valemit leiame:

Võrdsustades saadud avaldiste tegelikud ja kujuteldavad osad, saame:

Ja .

Neid valemeid saab kompaktsel kujul kirjutada järgmiselt:

,

, kus on arvu a täisarvuline osa.

Ülesanne 62. Leia kõik , mille jaoks .

Kuna , siis, kasutades valemit

, Juurte ekstraheerimiseks saame ,

Seega , ,

, .

Arvudele vastavad punktid asuvad raadiusega 2 ringi sisse kirjutatud ruudu tippudes, mille keskpunkt on punktis (0;0) (joonis 30).

Vastus: , ,

, .

Ülesanne 63. Lahenda võrrand , .

Tingimuste järgi; seetõttu pole sellel võrrandil juurt ja seepärast on see võrrandiga samaväärne.

Selleks, et arv z oleks antud võrrandi juur, peab arv olema n-s juur kraadi numbrist 1.

Siit järeldame, et algsel võrrandil on võrdustest määratud juured

,

Seega

,

st. ,

Vastus: .

Ülesanne 64. Lahendage võrrand kompleksarvude hulgas.

Kuna arv ei ole selle võrrandi juur, siis on see võrrand võrdne võrrandiga

See tähendab, võrrand.

Kõik selle võrrandi juured saadakse valemist (vt ülesannet 62):

; ; ; ; .

Ülesanne 65. Joonistage komplekstasandile punktide hulk, mis rahuldavad võrratusi: . (2. viis probleemi 45 lahendamiseks)

Lase .

Identsete moodulitega kompleksarvud vastavad tasandi punktidele, mis asuvad ringjoonel, mille keskpunkt on alguspunktis, seega ebavõrdsus rahuldavad kõik punktid avatud rõngast, mida piiravad ringid, mille alguspunktis on ühine keskpunkt ja raadiused ning (joon. 31). Vastagu mõni komplekstasandi punkt arvule w0. Number , mille moodul on mitu korda väiksem kui moodul w0 ja argument on suurem kui argument w0. Geomeetrilisest vaatenurgast võib w1-le vastava punkti saada kasutades homoteeti, mille keskpunkt on alguspunktis ja koefitsient, samuti pöördega alguspunkti suhtes nurga võrra vastupäeva. Nende kahe teisenduse rakendamisel rõnga punktidele (joonis 31) muutub viimane rõngaks, mida piiravad ringid, millel on sama keskpunkt ja raadiused 1 ja 2 (joonis 32).

Teisendamine rakendatakse paralleelse ülekande abil vektorisse. Punktis oleva keskpunktiga rõnga viimisel näidatud vektorisse saame sama suurusega rõnga, mille keskpunkt on punktis (joonis 22).

Kavandatud meetod, mis kasutab tasapinna geomeetriliste teisenduste ideed, on ilmselt vähem mugav kirjeldada, kuid on väga elegantne ja tõhus.

Ülesanne 66. Leia, kui .

Laske siis ja . Esialgne võrdsus saab vormi . Kahe kompleksarvu võrdsuse tingimusest saame , , millest , . Seega,.

Kirjutame arvu z trigonomeetrilisel kujul:

, Kus,. Moivre valemi järgi leiame .

Vastus: 64.

Ülesanne 67. Kompleksarvu jaoks leia kõik sellised kompleksarvud, et , ja .

Esitame arvu trigonomeetrilisel kujul:

. Siit, . Saadud arvu puhul võib olla võrdne või .

Esimesel juhul , teises

.

Vastus: , .

Ülesanne 68. Leia selliste arvude summa, mis . Palun märkige üks neist numbritest.

Pange tähele, et juba ülesande sõnastusest võib aru saada, et võrrandi juurte summa võib leida ilma juuri arvutamata. Tõepoolest, võrrandi juurte summa on koefitsient jaoks , mis on võetud vastupidise märgiga (üldistatud Vieta teoreem), st.

Õpilased, kooli dokumentatsioon, teevad järeldusi selle kontseptsiooni meisterlikkuse taseme kohta. Tehke kokkuvõte matemaatilise mõtlemise tunnuste uurimisest ja kompleksarvu mõiste kujunemise protsessist. Meetodite kirjeldus. Diagnostika: I etapp. Vestlus viidi läbi matemaatikaõpetajaga, kes õpetab 10. klassis algebrat ja geomeetriat. Vestlus leidis aset pärast seda, kui algusest oli mõnda aega möödas...

Resonants" (!)), mis sisaldab ka hinnangut enda käitumisele. 4. Kriitiline hinnang oma arusaamale olukorrast (kahtlused). 5. Lõpuks õiguspsühholoogia soovituste kasutamine (juristi poolt arvesse võttes). psühholoogilised aspektid sooritatud professionaalsed toimingud – professionaalne ja psühholoogiline valmisolek). Vaatleme nüüd juriidiliste faktide psühholoogilist analüüsi. ...

Trigonomeetrilise asendamise matemaatika ja väljatöötatud õppemetoodika efektiivsuse testimine. Tööetapid: 1. Valikkursuse väljatöötamine teemal „Trigonomeetrilise asendustöö rakendamine algebraülesannete lahendamisel“ süvamatemaatikaklasside õpilastega. 2. Väljatöötatud valikkursuse läbiviimine. 3. Diagnostilise testi läbiviimine...

Kognitiivsed ülesanded on mõeldud ainult olemasolevate õppevahendite täiendamiseks ja peavad olema sobivas kombinatsioonis kõigi traditsiooniliste õppeprotsessi vahendite ja elementidega. Haridusülesannete erinevus humanitaarainete õpetamisel täppisülesannetest matemaatikaülesannetest seisneb vaid selles, et ajalooülesannetes puuduvad valemid, ranged algoritmid jms, mis raskendab nende lahendamist. ...

Tehted algebralisel kujul kirjutatud kompleksarvudega

Kompleksarvu algebraline vorm z =(a,b).nimetatakse vormi algebraliseks avaldiseks

z = a + bi.

Aritmeetilised tehted kompleksarvudega z 1 = a 1 + b 1 i Ja z 2 = a 2 + b 2 i, mis on kirjutatud algebralises vormis, viiakse läbi järgmiselt.

1. Kompleksarvude summa (vahe).

z 1 ± z 2 = (a 1 ±a 2) + (b 1 ±b 2)∙ mina,

need. liitmine (lahutamine) toimub vastavalt polünoomide liitmise reeglile sarnaste liikmete redutseerimisega.

2. Kompleksarvude korrutis

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 - b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 + a 2 ∙b 1)∙ mina,

need. korrutamine toimub polünoomide korrutamise tavapärase reegli järgi, võttes arvesse asjaolu, et i 2 = 1.

3. Kahe kompleksarvu jagamine toimub järgmise reegli järgi:

, (z 2 ≠ 0),

need. jagamine toimub dividendi ja jagaja korrutamisel jagaja konjugaatarvuga.

Kompleksarvude astendamine on defineeritud järgmiselt:

Seda on lihtne näidata

Näited.

1. Leidke kompleksarvude summa z 1 = 2 – i Ja z 2 = – 4 + 3i.

z 1 + z 2 = (2 + (–1)∙ mina)+ (–4 + 3i) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) i = –2+2i.

2. Leidke kompleksarvude korrutis z 1 = 2 – 3i Ja z 2 = –4 + 5i.

= (2 – 3i) ∙ (–4 + 5i) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3i)+ 2∙5i– 3ma∙ 5i = 7+22i.

3. Leidke jagatis z divisjonist z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – i.

z = .

4. Lahendage võrrand: , x Ja y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3i.

Kompleksarvude võrdsuse tõttu on meil:

kus x =–1 , y= 4.

5. Arvutage: i 2 ,i 3 ,i 4 ,i 5 ,i 6 ,i -1 ,i -2 .

6. Arvutage, kui .

.

7. Arvutage arvu pöördväärtus z=3-i.

Kompleksarvud trigonomeetrilisel kujul

Keeruline tasapind nimetatakse tasapinnaks ristkoordinaatidega ( x, y), kui iga punkt koordinaatidega ( a, b) on seotud kompleksarvuga z = a + bi. Sel juhul nimetatakse abstsisstelge tegelik telg, ja ordinaattelg on kujuteldav. Siis iga kompleksarv a+bi geomeetriliselt kujutatud tasapinnal punktina A (a, b) või vektor.

Seega punkti asukoht A(ja seega kompleksarv z) saab määrata vektori | pikkusega | = r ja nurk j, mille moodustab vektor | | reaaltelje positiivse suunaga. Vektori pikkust nimetatakse kompleksarvu moodul ja seda tähistatakse | z |=r ja nurk j helistas kompleksarvu argument ja on määratud j = arg z.

On selge, et | z| ³ 0 ja | z | = 0 Û z = 0.

Jooniselt fig. 2 on selge, et.

Kompleksarvu argument määratakse mitmetähenduslikult, kuid täpsusega 2 pk, kÎ Z.

Jooniselt fig. 2 on ka selge, et kui z=a+bi Ja j=arg z, See

cos j =, patt j =, tg j = .

Kui zÎR Ja z> 0, siis arg z = 0 +2pk;

Kui z ОR Ja z< 0, siis arg z = p + 2pk;

Kui z = 0,arg z määramata.

Argumendi põhiväärtus määratakse intervallil 0 £ arg z 2 naela p,

või -lk£ arg z £ p.

Näited:

1. Leidke kompleksarvude moodul z 1 = 4 – 3i Ja z 2 = –2–2i.

2. Määratlege komplekstasandil järgmiste tingimustega määratletud alad:

1) | z | = 5; 2) | z| 6 naela; 3) | z – (2+i) | 3 naela; 4) £6 | z – i| 7 naela.

Lahendused ja vastused:

1) | z| = 5 Û Û - ringjoone võrrand raadiusega 5 ja keskpunktiga alguspunktis.

2) Ringjoon raadiusega 6, mille keskpunkt on alguspunktis.

3) Ringjoon raadiusega 3, mille keskpunkt on punktis z 0 = 2 + i.

4) Ring, mis on piiratud raadiusega 6 ja 7, mille keskpunkt on punktis z 0 = i.

3. Leia arvude moodul ja argument: 1) ; 2) .

1) ; A = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2i; a =–2, b =-2 Þ ,

.

Vihje: peamise argumendi määramisel kasutage komplekstasandit.

Seega: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j 4 = , .